Астроном и историк науки Матье Оссендрайвер (Mathieu Ossendrijver) из Берлинского университета имени Гумбольдта обнаружил на ранее не изученных вавилонских клинописных табличках, датированных 350 — 50 годами до н.э., описание нетривиального геометрического метода вычисления положения Юпитера. В нем использованы концепции, впервые появившиеся в современной науке лишь в середине XIV века, а затем ставшие краеугольным камнем математического анализа. Работа опубликована в журнале Science.

В 1350-1360 годах группа мыслителей, известная как «Оксфордские калькуляторы» сформулировала и доказала теорему о средней скорости, гласящую, что путь, проходимый телом за некоторое время при равноускоренном движении может быть описан формулой


где и — максимальное и минимальное значение скорости в равноускоренном движении. Немного позже французский теолог и математик Николай Орем предложил графический метод доказательства этой теоремы, использующий для определения вычисление площади под трапецией с основанием равным и боковыми сторонами равными и . В дальнейшем аналогичный метод лег в основу математического анализа (интегрального исчисления).

Клинописная табличка с описанием математического метода вычисления положения Юпитера. Фотография: Mathieu Ossendrijver / Science

Матье Оссендрайвер пришел к выводу, что схожую технику вычислений использовали и жрецы древнего Вавилона. В течение 14 лет Оссендрайвер изучал клинописные таблички, хранящиеся в Британском музее. Ряд табличек содержал таблицы с числами (записанными в шестидесятеричной системе счисления), а другие — алгоритмы каких-то астрономических вычислений. Долгое время их смысл был непонятен ученому, однако, в 2014 году его коллега, известный специалист по истории Древнего Востока Герман Гангер (Hermann Hunger) привез показать Оссендрайверу фотографии еще некаталогизированных клинописных табличек, также содержащих неизвестные астрономические вычисления.

Сопоставив их содержание с ранее изученными материалами, исследователь пришел к выводу, что весь корпус клинописных табличек описывает астрономические наблюдения за движением планеты Юпитер по эклиптике (большому кругу небесной сферы, по которому происходит видимое годичное перемещение Солнца), которая ассоциировалась у древних вавилонян с их верховным божеством Мардуком.

Выяснилось, что хотя все данные в табличках были выражены арифметически, они предполагали нетривиальную геометрическую модель движения планеты. Эта модель описывала ежедневное перемещение Юпитера на протяжении интервала в 120 суток — от момента, когда планета «восходила» в ночном небе и до «заката». При этом, если использовать современные способы математической репрезентации, на оси X откладываются дни (равные отрезки времени), а на оси Y — скорость перемещения Юпитера, выраженная в ежедневном смещении на определенное количество градусов эклиптики в сутки (см. график ниже).

Экспликация математической модели для описания движения Юпитера и вычисления его положения. Все значения даны в шестидесятеричной системе счисления. Промежутки между 0 и 1,0 равны 60 дням. На оси ординат отложена скорость движения Юпитера в градусах эклиптики за сутки. Изображение: Mathieu Ossendrijver / Science

Наиболее интересным моментом здесь является тот факт, что видимая скорость Юпитера на протяжении первых 60 дней незначительно замедляется, но затем начинает замедляться гораздо быстрее. Это обусловлено соотношением радиусов орбит Земли и Юпитера вокруг Солнца. Таким образом, в окончательном графике получаются две трапеции, а чтобы найти пройденное Юпитером расстояние, необходимо вычислить площадь этих трапеций. В одной из клинописных табличек Оссендрайвер обнаружил подробные инструкции на этот счет.

Более того, как оказалось, жрецы Вавилона использовали еще один метод, чтобы вычислить время, за которое Юпитер пройдет до определенной точки эклиптики (примерно на 30-й день). Для этого первую трапецию делили пополам, на две фигуры равной площади.


По мнению исследователя, его изыскания показывают, что в древнем Вавилоне существовало применение абстрактных математических моделей в астрономии, превосходивших по сложности методы вычислений античных греческих астрономов, таких как Аристарх Самосский, Гипарх, Клавдий Птолемей или безвестных создателей Антикитерского механизма. Жрецы Вавилона использовали для вычислений не только пространственные координаты, но и такие переменные как время и скорость. Впоследствии математические концепции такого уровня были вновь «переизобретены» лишь в позднем средневековье и раннем Новом времени.