Часть вторая. Головоломки и метаголоволомки

• Остров Вопрошаек
• Остров Сновидений
• Метаголоволомки

Остров Вопрошаек

Где-то в океанских просторах есть очень странный остров, известный как остров Вопрошаек. Назвали его так потому, что обитатели этого острова никогда не высказывают никаких утверждений; они лишь задают вопросы. Как же они ухитряются общаться между собой? Об этом чуть позднее.

Так вот, обитатели острова задают друг другу только те вопросы, на которые можно ответить словами «да» или «нет». При этом каждый из них относится к одному из двух типов — типу А или типу В. Обитатели типа А задают только такие вопросы, правильным ответом на которые является «да». Обитатели же, относящиеся к типу В, задают лишь вопросы, на которые правильным ответом является отрицание «нет». Например, житель типа А может спросить: «Равняется ли два плюс два четырем?» Но он никак не мог бы спросить, например, равняется ли два плюс два пяти или шести.

1. Предположим, вы встречаете жителя этого острова, и он спрашивает вас: «Принадлежу ли я к типу В?»

Какой вывод вы можете из этого сделать?

2. Допустим, что вместо этого он спросил бы вас, относится ли он к типу А.

Какой вывод сделали бы вы тогда?

3. Как-то я посетил этот остров и встретил супружескую пару — Итана и Вайолет Рассел. Случайно я услышал, как Итан спросил кого-то:

— Относимся ли мы с Вайолет к типу В?

К какому типу относится Вайолет?

4. В другой раз я встретил двух братьев, которых звали

Артур и Роберт. Однажды Артур спросил Роберта:

— Принадлежит ли по крайней мере один из нас к типу В?

К какому типу относится каждый из братьев?

5. В следующий раз я встретил супружескую пару по фамилии Гордон. Мистер Гордон спросил свою жену:

— Дорогая, относимся ли мы с тобой к людям разного типа? Что можно сказать по поводу каждого из супругов?

6. Затем я встретил островитянина по фамилии Цорн.

Он спросил меня:

— Отношусь ли я к людям того типа, которые могли бы спросить, принадлежу ли я к типу В?

Можно ли сделать какой-либо вывод относительно Цорна или такая ситуация невозможна?

7. Перейдем теперь от возвышенного к смешному. Однажды я столкнулся с островитянином, который спросил меня:

— Принадлежу ли я к людям того типа, которые могли бы задать вопрос, что я сейчас задаю?

Можно ли сделать какое-либо заключение относительно этого островитянина?

8. В другой раз я столкнулся с супружеской парой по фамилии Клинк. Миссис Клинк спросила своего мужа:

— Относишься ли ты к людям того типа, которые могли бы спросить меня, принадлежу ли я к типу А?

Какой вывод можно сделать по поводу мистера и миссис Клинк?

9. Затем я встретил супругов Джона и Бетти Блэк. Бетти спросила своего мужа:

— Относишься ли ты к людям того типа, которые могли бы спросить, принадлежит ли по крайней мере один из нас к типу В?

К какому типу принадлежат Джон и Бетти?

Примечание. Последние две задачи напоминают мне песенку, слышанную мною много лет назад. Она входила в сборник «психоаналитических шуточек и называлась «Мне с тобой не по себе — ты со мною не в себе”.

10. Следующий эпизод оказался настоящей логической неразберихой! Я встретил трех сестер, которых звали Алиса, Бетти и Вероника. Алиса спросила Бетти:

— Относишься ли ты к людям, которые могли бы спросить Веронику, принадлежит ли она к людям, которые могли бы спросить тебя, относитесь ли вы с ней к разным типам?

Продолжая прогулку, я попытался разрешить эту задачу, однако понял наконец, что в данном случае я могу лишь определить, к какому типу относится только одна из трех девушек. Кто эта девушка и к какому типу она принадлежит?

Странная встреча

Последние три беседы на острове Вопрошаек, которые я услышал, оказались самыми странными. Три пациента, сбежавшие из одной из психиатрических лечебниц, описанных в гл. 3, тоже решили наведаться на остров. Напомним, что пациент такой лечебницы мог либо находиться в здравом уме, либо оказаться лишенным рассудка, причем нормальные пациенты придерживались абсолютно истинных убеждений, а пациенты, лишившиеся рассудка, следовали полностью неверным убеждениям. Кроме того, все пациенты независимо от того, находились они в здравом уме или лишились рассудка, были всегда правдивы. Это означало, что они никогда не высказывали никаких утверждений, не будучи уверенными в том, что эти утверждения верны.

11. На следующий день после приезда один из пациентов по имени Арнольд столкнулся с неким островитянином. Островитянин спросил его:”Считаете ли вы, что я принадлежу к типу В?” Какой вывод можно сделать относительно островитянина и что можно сказать по поводу Арнольда?

12. На следующий день второй из пациентов по имени Томас завел длинную беседу с одним из островитян (если только это можно назвать беседой — ведь Томас только высказывал суждения, а островитянин лишь задавал ему вопросы!). В какой-то момент островитянин спросил Томаса:

— Считаете ли вы, что я принадлежу к людям того типа, которые могли бы спросить вас, не лишились ли вы рассудка?

Какой вывод можно сделать относительно островитянина и что можно заключить по поводу Томаса?

13. Спустя еще несколько дней я разговорился с третьим пациентом по имени Уильям. Уильям рассказал мне, что накануне, оказавшись случайным свидетелем разговора между Томасом и островитянином по имени Хал, он будто бы слышал, как Томас заявил Халу:

— Вы относитесь к тому типу людей, которые могли бы спросить меня, считаю ли я, что вы принадлежите к типу В.

Можно ли сделать какой-либо вывод в отношении Томаса, Хала и Уильяма?

Кто волшебник?

На этом этапе моих приключений я все еще не знал, находится ли Томас в здравом уме или же он утратил рассудок, да и долго выяснять это не было возможности. На следующий день все три пациента покинули остров. Последнее, что я услышал — будто бы они добровольно возвратились в лечебницу, откуда сбежали. По-видимому, им было там совсем неплохо, поскольку все трое единодушно заявили, что действительность вне стен лечебницы показалась им еще более безумной, чем жизнь в их родном сумасшедшем доме.

Что ж, я с облегчением воспринял возврат к нормальной жизни на острове Вопрошаек. Но тут до меня дошли слухи, которыми я крайне заинтересовался, а именно будто на острове живет какой-то волшебник. Поскольку волшебники занимали меня с детства, то теперь, если бы, конечно, эти слухи подтвердились, у меня был отличный шанс встретить настоящего волшебника. Но как же мне его разыскать?

14. К счастью, один островитянин вздумал обратиться ко мне с вопросом, из которого я сразу понял, что волшебник на острове должен обнаружиться непременно.

Не можете ли Вы придумать такой вопрос?

Тут читатель, возможно, призадумается, как это до меня могли дойти слухи об островном волшебнике или вообще о чем-нибудь на острове, если жители острова не высказывают никаких утверждений, а лишь задают вопросы. Если предположить, что читатель еще не догадался, как это происходит, то решение данной, задачи как раз и подскажет нам, каким же образом островитяне могут обмениваться информацией почти так же свободно, как и остальная часть человечества — хотя, быть может, и несколько более неуклюжим способом.

Можете себе представить, как я обрадовался, узнав, что на острове в самом деле проживает волшебник; к тому же мне удалось выяснить точно, что волшебник на острове только один. Но я не имел ни малейшего представления, кто он. Далее я разведал, что приезжего, который сумел бы правильно назвать его имя, ожидает большая награда. Единственная загвоздка была в том, что гостю, который в этой ситуации ошибался, немедленно отрубали голову.

Итак, на следующее утро я поднялся очень рано и пошел бродить по острову в надежде, что островитяне зададут мне достаточно вопросов, чтобы я смог с полной уверенностью сказать, кто же состоит тут волшебником.

И вот что случилось потом.

15. Первого островитянина, которого я встретил, звали Артур Гуд. Он спросил меня:

— Я — волшебник?

Достаточно ли у меня информации, чтобы выяснить, кто же является волшебником?

16. Следующего островитянина звали Бернард Грин.

Он спросил меня:

— Принадлежу ли я к людям того типа, которые могли бы спросить вас, не волшебник ли я?

Достаточно ли было мне этой информации?

17. Очередной попавшийся мне островитянин, Чарлз Мэнсфилд, спросил меня:

— Принадлежу ли я к людям того типа, которые могли бы спросить, относится ли волшебник к людям того типа, которые могли бы спросить, волшебник ли он?

Достаточно ли мне этой информации?

18. Еще одного островитянина звали Дэниел Мотт. Он задал мне такой вопрос:

— Принадлежит ли волшебник к типу В?

Достаточно ли мне этой информации?

19. Последнего островитянина звали Эдвин Друд. Он спросил:

— Относимся ли мы с волшебником к людям одного типа?

Наконец-то! Теперь у меня было достаточно сведений, чтобы разрешить загадку.

Так кто же волшебник?

Призовая задача

Ну-ка, обладаете ли вы способностями детектива? Вспомним пациента по имени Томас, который приезжал на остров. Находился ли он все-таки в здравом уме или был безумен?

Решения

1. Ни один житель этого острова не может задать вам такой вопрос. Если островитянин, относящийся к типу А, спрашивает: «Принадлежу ли я к типу В?» — правильным ответом на этот вопрос будет «нет» (так как он в самом деле не принадлежит к типу В). Но человек, относящийся к типу А, не может задать вопрос, правильным ответом на который является «нет»; следовательно, ни один островитянин типа А не может задать такой вопрос. Если же такой вопрос задает островитянин типа В, то правильным ответом на него будет «да». Но человек типа В не может задавать вопросы, на которые следует отвечать «да», и следовательно, островитянин типа В тоже никак не может задать подобный вопрос.

2. Тут мы не можем прийти ни к какому выводу. Действительно, любой житель острова может спросить, принадлежит ли он к типу А, поскольку сам он при этом может относиться как к типу А, так и к типу В. Если он относится к типу А, тогда правильным ответом на его вопрос: «Отношусь ли я к типу А?» — является «да», а человек типа А всегда может задать любой вопрос, правильным ответом на который будет «да». С другой стороны, если островитянин принадлежит к типу В, тогда правильным ответом на поставленный вопрос является «нет», а любой островитянин типа В всегда может задать вопрос, правильным ответом на который будет «нет».

3. Прежде всего мы должны выяснить, к какому типу относится Итан. Предположим, что он принадлежит к типу А. Тогда правильным ответом на его вопрос должно быть «да» (поскольку «да» является правильным ответом на вопросы, задаваемые островитянами типа А), а это означало бы, что Итан и Вайолет оба принадлежат к типу В. Тем самым Итан относился бы к типу В, и мы пришли бы к противоречию. Следовательно, Итан не может принадлежать к типу А, а значит, должен относиться к типу В. Далее, поскольку он принадлежит к типу В, правильным ответом на его вопрос будет «нет», и, следовательно, они с Вайолет принадлежат к разным типам. Поэтому Вайолет должна относиться к типу А.

4. Допустим, что Артур принадлежит к типу В. Тогда, действительно, по крайней мере один из братьев относился бы к типу В, а это потребовало бы в качестве правильного ответа «да», что в свою очередь означало бы, что Артур принадлежит к типу А. Таким образом, мы приходим к противоречию, и, следовательно, Артур не может принадлежать к типу В. Стало быть, он относится к типу А. Отсюда следует, что правильным ответом на его вопрос является «да», а это означает, что по крайней мере один из братьев принадлежит к типу В. Так как Артур не принадлежит к типу В, то это должен быть Роберт. Итак, Артур относится к типу А, а Роберт — к типу В.

5. По поводу мистера Гордона нельзя сделать никакого вывода, однако миссис Гордон должна принадлежать к типу В. Основания для такого заключения следующие.

Мистер Гордон относится либо к типу А, либо к типу В. Предположим, что он относится к типу А. Тогда правильным ответом на его вопрос является «да», откуда следует, что супруги принадлежат к разным типам. При этом миссис Гордон должна принадлежать к типу В (поскольку ее муж относится к типу А, а они принадлежат к разным типам). Итак, если мистер Гордон относится к типу А, то его жена должна принадлежать к типу В.

Допустим теперь, что мистер Гордон относится к типу В. Тогда правильным ответом на его вопрос будет «нет»; это означает, что супруги не принадлежат к разным типам, то есть что они относятся к одному и тому же типу. Значит, миссис Гордон тоже относится к типу В. Итак, если мистер Гордон принадлежит к типу В, то и миссис Гордон должна относиться к этому же типу.

Это доказывает, что независимо от того, к какому типу принадлежит мистер Гордон, миссис Гордон обязательно должна принадлежать к типу В.

Другое доказательство — гораздо более простое, но в то же время более изящное — заключается в следующем.

Как мы уже знаем из первой задачи, ни один житель этого острова не может спросить, принадлежит ли он к типу В. Поэтому, если бы миссис Гордон принадлежала к типу А, тогда для островитянина спросить, отличается ли он по типу от миссис Гордон, было бы эквивалентно вопросу, принадлежит ли он к типу В, то есть вопросу, которого он задать не может. Следовательно, миссис Гордон не может принадлежать к типу А.

6. Такая ситуация вполне возможна, но при этом Цорн должен принадлежать к типу В. Самый простой способ убедиться в этом — вспомнить еще раз (см. задачу 1), что ни один житель острова не может спросить, относится ли он к типу В. Поэтому, когда Цорн спрашивает, принадлежит ли он к людям того типа, которые могли бы спросить, относится ли он к типу В, правильным ответом на этот вопрос будет «нет» (так как ни один островитянин не может спросить, относится ли он к типу В). Значит, поскольку правильным ответом является «нет», то, следовательно, Цорн должен принадлежать к типу В.

7. Поскольку островитянин все-таки задал этот вопрос, то, очевидно, он мог его задать. Следовательно, правильным ответом на его вопрос является «да», а сам он относится к типу А.

8. По поводу миссис Клинк нельзя сказать ничего определенного, а ее супруг должен относиться к типу А. Основания для такого вывода следующие. Допустим, что миссис Клинк относится к типу А. Тогда правильным ответом на ее вопрос будет «да», откуда следует, что мистер Клинк мог спросить свою жену, принадлежит ли она к типу А. А поскольку миссис Клинк по предположению принадлежит к типу А, то правильным ответом на этот вопрос будет «да», что позволяет считать мистера Клинка относящимся к типу А. Итак, если миссис Клинк принадлежит к типу А, то ее муж относится к тому же самому типу. Предположим теперь, что миссис Клинк принадлежит к типу В. Тогда правильным ответом на ее вопрос будет «нет», откуда следует, что мистер Клинк не относится к людям того типа, которые могли бы спросить ее, принадлежит ли она к типу А. Поэтому он не мог задать вопрос, правильным ответом на который являлось бы «нет», а значит, должен относиться к типу А. Итак, мистер Клинк относится к типу А, независимо от того, к какому типу принадлежит миссис Клинк.

9. Предположим, что Бетти относится к типу А. Тогда правильным ответом на ее вопрос является «да», и поэтому Джон мог спросить, принадлежит ли по крайней мере один из них к типу В. Но это приводит нас к противоречию: ведь если Джон относится к типу А, то невозможно, чтобы по крайней мере один из супругов принадлежал к типу В. Следовательно. Правильным ответом на его вопрос должно быть «нет», что невозможно для человека, принадлежащего к типу А. Если же Джон относится к типу В, тогда, действительно, по крайней мере один из них принадлежит к типу В, — ведь в этом случае «да» оказывается правильным ответом на его вопрос. Но поскольку ни один человек, относящийся к типу В, не может задать вопрос, правильным ответом на который является «да», то предположение о том, что Бетти принадлежит к типу А, неверно и, значит, она должна относиться к типу В.

Теперь, поскольку Бетти относится к типу В, то правильным ответом на ее вопрос явлется «нет»; отсюда следует, что Джон никак не может спросить ее, принадлежит ли по крайней мере один из них к типу В. Далее, если бы Джон относился к типу А, тогда он в самом деле мог задать такой вопрос, поскольку, действительно, по крайней мере один из них (а именно Бетти) принадлежит к типу В. Но поскольку задать такой вопрос он не может, то, следовательно, он тоже должен относиться к типу В.

Итак, ответ таков: оба супруга принадлежат к типу В.

10. Легче всего строить решение этой задачи поэтапно. Прежде всего докажем следующие два утверждения:

Утверждение 1.

Для любого островитянина X, относящегося к типу А, справедливо следующее: никто из жителей острова не может спросить, принадлежат ли он (она) и этот X к разным типам.

Утверждение 2.

Для любого островитянина X, относящегося к типу В, справедливо следующее: любой обитатель острова всегда может спросить, принадлежат ли он (она) и этот X к разным типам.

Утверждение 1 фактически доказано при решении задачи 5, когда мы убедились, что если бы миссис Гордон относилась к типу А, то мистер Гордон никак не мог бы спросить, принадлежат ли он и его супруга к одному типу.

Что же касается утверждения 2, то в случае, если X относится к типу В, вопрос, относятся ли некто и житель острова X к разным типам, эквивалентен вопросу, принадлежит ли этот некто к типу А, а такой вопрос, как мы уже выяснили при решении задачи 2, может задать любой островитянин. Таким образом, если X принадлежит к типу В, то любой житель острова может спросить X, относится ли он (она) вместе с X к разным типам.

Обратимся теперь к решению самой задачи. Докажем сначала, что правильным ответом на вопрос Алисы является «нет» и поэтому Алиса должна принадлежать к типу В. Другими словами, докажем, что Бетти никак не может спросить Веронику, относится ли Вероника к такому типу людей, которые могли бы спросить Бетти, принадлежат ли Вероника и Бетти к разным типам.

Предположим, что Бетти задает Веронике вопрос, может ли Вероника спросить, относятся ли Вероника и Бетти к разным типам. Тогда мы приходим к следующему противоречию. Действительно, Бетти может относиться как к типу А, так и к типу В. Допустим, что она относится к типу В. Тогда, согласно утверждению 1, Вероника не может спросить, относятся ли они с Бетти к разным типам. Следовательно, ответом на вопрос Бетти является «нет», а такой ответ невозможен, так как Бетти принадлежит к типу А. С другой стороны, предположим, что Бетти относится к типу В. Тогда, согласно утверждению 2, Вероника вполне могла бы спросить, относятся ли они с Бетти к разным типам; это означает, что правильным ответом на вопрос Бетти должно быть «да», что невозможно, поскольку Бетти принадлежит к типу В.

Тем самым доказано, что Бетти никак не может задать Веронике вопрос, о котором Алиса спрашивает

Бетти, могла ли бы она его задать… Поэтому правильным ответом на вопрос Алисы является «нет», и, значит, сама Алиса относится к типу В. Что же касается того, к какому типу относятся Бетти и Вероника, то этого выяснить нельзя.

11. По-моему, это самая занятная задача этой главы. Мы ничего не можем сказать об островитянине, задавшем вопрос Арнольду, но в то же время Арнольд, который и рта не раскрывал (насколько мы это знаем), должен оказаться сумасшедшим. В самом деле, ни один островитянин не мог бы спросить находящегося в здравом уме человека, полагает ли он, что сам островитянин принадлежит к типу В, поскольку вопрос, обращенный к нормальному человеку, считает ли он, что тот или иной факт имеет место, равносилен вопросу, имеет ли этот факт место в действительности. В то же время ни один островитянин не может спросить, принадлежит ли он к типу В. Итак, ни один островитянин, назовем его X, не мог бы спросить находящегося в здравом уме человека, полагает ли он, что сам X относится к типу В.

С другой стороны (а этот факт потребуется нам при решении последующих задач), любой островитянин X мог бы спросить человека, лишившегося рассудка, считает ли тот, что сам X принадлежит к типу В, поскольку спросить об этом безумного равносильно тому, чтобы X спросил, принадлежит ли сам X к типу А, что, как мы уже видели, вполне позволительно для любого островитянина X.

12. По поводу Томаса мы не можем сделать никакого вывода, а островитянин, задавший вопрос, должен принадлежать к типу В. В самом деле, если предположить, что он принадлежит к типу А, то тогда правильным ответом на его вопрос будет «да», откуда следует, что Томас действительно считает, будто островитянин мог бы его спросить, лишился ли он рассудка. Но при этом Томас может оказаться как в здравом уме, так и лишенным рассудка. Предположим, что он находится в здравом уме. Тогда его убеждения правильны, а это в свою очередь означает, что островитянин вполне мог спросить его, лишился ли он рассудка. Однако человек, относящийся к типу А, может задавать только такие вопросы, правильным ответом на которые является «да»; это означало бы, что Томас должен оказаться безумным. Итак, предположение о том, что Томас — нормальный человек, позволяет сделать вывод, что Томас сошел с ума, то есть приводит нас к противоречию. С другой стороны, предположим, что Томас лишился рассудка. Тогда убеждение Томаса в том, что островитянин может его спросить, лишился ли Томас рассудка, ошибочно; следовательно, житель острова никак не может спросить его, лишился ли он рассудка. (В этом случае Томас ответил бы «нет», что невозможно, поскольку по условию островитянин принадлежит к типу А.) Однако если принять, что Томас сошел с ума и что островитянин относится к типу А, то житель острова вполне мог бы, следуя законам острова Вопрошаек, спросить Томаса, лишился ли он рассудка (поскольку правильным ответом на этот вопрос было бы «да»). Итак, предположение о том, что Томас сошел с ума, также приводит нас к противоречию.

Поэтому единственный способ избежать противоречия — это предположить, что островитянин должен относиться не к типу А, а к типу В; в этом случае никаких противоречий не возникает, независимо от того, находится ли Томас в здравом уме или он лишился рассудка.

13. Покажем, что эпизод, о котором рассказал Уильям, никак не мог иметь место в действительности. Поэтому Уильям, который уверен, будто это произошло на самом деле, обязательно должен оказаться безумным.

Итак, пусть подобная история и в самом деле имела место — в этом случае мы сразу приходим к противоречию. Действительно, предположим поначалу, что Томас— нормальный человек. Тогда его утверждения верны, откуда следует, что Хал вполне мог спросить Томаса, считает ли тот, будто Хал принадлежит к типу В. Но в соответствии с решением задачи 11 из этого следует, что Томас лишился рассудка! А это противоречит предположению, что Томас — нормальный человек. С другой стороны, допустим, что Томас сошел с ума. Тогда его утверждения ошибочны, и, следовательно, Хал никак не мог бы спросить Томаса, считает ли он, будто Хал относится к типу В. Но, как мы видели в задаче 11, житель острова вполне может спросить человека, лишившегося рассудка, считает ли он, что сам островитянин принадлежит к типу В. Итак, в этом случае мы вновь приходим к противоречию.

Единственный способ избежать противоречия — это принять, что Томас никогда не задавал такой вопрос ни одному островитянину, а Уильям просто вообразил себе, будто Томас это сделал.

14. Здесь могут сработать самые разные вопросы; мне больше всего нравится такой: «Отношусь ли я к людям, которые могут спросить, имеется ли на этом острове волшебник?»

Предположим, что тот, кто спрашивает, принадлежит к типу А. Тогда правильным ответом на его вопрос является «да». Человек, задающий вопрос, вполне может спросить, имеется ли на острове волшебник. Поскольку этот человек принадлежит к типу А, то он может спросить, имеется ли на острове волшебник только в том случае, если на острове в самом деле есть волшебник (с тем, чтобы правильным ответом оказалось бы «да»). Таким образом, если спрашивающий принадлежит к типу А, то на острове непременно должен быть волшебник.

Предположим теперь, что тот, кто спрашивает, относится к типу В. Тогда правильным ответом на его вопрос будет «нет», а это означает, что он не может спросить, имеется ли на острове волшебник. Далее, если бы на острове волшебника не было, то человек, задавший подобный вопрос (так как он принадлежит к типу В), вполне мог бы спросить, имеется ли на острове волшебник (поскольку правильным ответом в таком случае являлось бы «нет»). Однако поскольку островитянин не может (как мы убедились) задать этот вопрос, то отсюда следует, что на острове действительно должен быть волшебник. Тем самым доказано, что если человек, задающий вопрос, принадлежит к типу В, то на острове имеется волшебник. Итак, независимо от того, принадлежит спрашивающий к типу А или к типу В, на острове обязательно должен оказаться волшебник.

15. Конечно же, нет!

16. Единственный вывод, который можно сделать, — это то, что Бернард Грин не является волшебником (на основании тех же рассуждений, что и при решении задачи 14).

17. Единственный вывод, который можно сделать, — это то, что волшебник принадлежит к людям, которые могли бы спросить, волшебник ли Чарлз Мэнсфилд.

(Напомним, что, как мы выяснили при решении задачи 11, в случае, если островитянин спрашивает: «Принадлежу ли я к людям, которые могли бы спросить, имеет ли место какое-либо утверждение?», то это утверждение обязательно должно оказаться истиной.)

18. Все, что мы можем сказать, — это то, что Дэниел Мотт не является волшебником (потому что волшебник не может спросить, относится ли он сам к типу В; ведь на самом деле никто не может спросить, относится ли он к типу В).

19. Из того, что Эдвин Друд спрашивает сам по себе, невозможно заключить, кто же является волшебником. Но если использовать не только его вопрос, но и ранее заданные вопросы, то задача становится вполне разрешимой!

Прежде всего из вопроса Эдвина Друда следует, что волшебник должен принадлежать к типу А. В самом деле, предположим, например, что Эдвин относится к типу А; тогда правильным ответом на его вопрос будет «да». Поэтому и он, и волшебник фактически должны принадлежать к одному и тому же типу, а значит, волшебник тоже должен относиться к типу А. С другой стороны, предположим, что Эдвин относится к типу В. Тогда правильным ответом на его вопрос окажется «нет», откуда следует, что волшебник не может принадлежать к тому же типу, что и Эдвин. Но поскольку Эдвин относится к типу В, а волшебник к этому типу не принадлежит, то волшебник опять-таки должен относиться к типу А. Итак, мы доказали, что волшебник принадлежит к типу А. Далее, как мы установили при решении задачи 17, волшебник вполне мог бы спросить, не является ли волшебником Чарльз Мэнсфилд. Но поскольку волшебник принадлежит к типу А, то правильным ответом на этот вопрос является «да». Следовательно, волшебником должен быть Чарльз Мэнсфилд!

Призовая задача. Я уже рассказывал вам, что Арнольд, Томас и Уильям в конце концов единодушно согласились с тем, что жизнь вне стен лечебницы для душевнобольных оказалась еще более безумной, чем в чем в ней самой. Поэтому так как Томас согласен с Арнольдом и Уильямом, которые лишены рассудка, то и сам Томас также должен оказаться безумным.

Остров Сновидений

Однажды мне приснился необычный остров под названием остров Сновидений. Жители этого острова видят очень яркие сны; при этом во время сна их мысли столь же отчетливы, как и наяву. Более того, их жизнь во сне в дневное время течет точно так же, как жизнь наяву в течение ночи. В результате некоторые островитяне подчас никак не могут сообразить, спят они в данный момент или бодрствуют.

К тому же оказывается, что все жители острова делятся на две категории: они бывают дневного и ночного типа. Отличительная особенность островитянина дневного типа состоит в следующем: все то, во что он верит во время своего бодрствования, является истинным, а все то, о чем он думает, пока спит, оказывается ложным. Обитатель же острова, относящийся к ночному типу, представляет собой полную его противоположность: все то, в чем убежден такой островитянин, пока он спит, является истинным, а все то, во что он верит во время своего бодрствования, оказывается ложным.

1. Как-то один из островитян решил, что он относится к дневному типу. Можно ли как-нибудь проверить, было ли его убеждение правильным? Возможно ли определить, бодрствовал он в этот период или спал?

2. В другом случае один островитянин посчитал, будто он в данный момент спит. Можно ли проверить правильность его суждения? Можно ли определить, к какому он типу принадлежит?

3. а) Верно ли, что мнение островитянина по поводу того, относится ли он к дневному, или ночному типу, никогда не меняется?

б) Верно ли, что представление островитянина о том, бодрствует ли он в данный момент или спит, никогда не меняется?

4. Как-то одна из жительниц острова решила, что она либо спит, либо относится к ночному типу, либо имеет место и то и другое сразу. («Либо» в данном случае означает по крайней мере одну или, быть может, обе возможности.)

Можем ли мы определить, спала она или бодрствовала в данный момент? Можем ли мы также выяснить, к какому типу принадлежит эта обитательница острова?

5. Как-то один островитянин посчитал, будто он спит и относится к дневному типу. Что можно сказать о нем на самом деле?

6. На острове живет супружеская пара по фамилии Калп. В какой-то момент мистер Калп счел, что он вместе со своей женой принадлежит к ночному типу. В то же самое время миссис Калп сочла, что оба они не принадлежат к ночному типу. При этом оказалось, что один из них в этот момент бодрствовал, а другой спал.

Кто же из них бодрствовал?

7. На острове живет еще одна супружеская пара по фамилии Байрон. Один из супругов принадлежит к ночному типу, а другой — к дневному. В какой-то момент жена Байрона сочла, что они оба либо бодрствуют, либо спят одновременно. В тот же момент ее муж счел, что это не так.

Кто из них был прав?

8. А вот особенно интересный случай: как-то раз один островитянин по имени Эдвард подумал с удивлением, что он и его сестра Элейн принадлежат к ночному типу, и в то же время — будто он сам к ночному типу не относится.

Как это могло случиться? Принадлежит Эдвард к ночному или дневному типу? А к какому типу относится его сестра? Спал Эдвард в этот момент или бодрствовал?

9. Королевская семья.

На острове Сновидений есть король, королева и принцесса. Однажды принцесса подумала, что ее родители принадлежат к разным типам. Спустя 12 часов состояние ее изменилось (то ли она проснулась, то ли заснула), и тогда она решила, что ее отец относится к дневному типу, а мать—к ночному.

К какому типу принадлежит король, и к какому типу — королева?

10. А что думаете вы по поводу колдуна? Ясно, что на таком острове никак нельзя обойтись без чародея, волшебника, колдуна или еще кого-нибудь в том же духе. Оказывается, на острове действительно имеется колдун и притом только один. А теперь позвольте предложить вам крайне любопытную задачку, связанную с этим колдуном.

Как-то раз один островитянин по имени Орк размышлял о том, не является ли он сам колдуном. В конце концов Орк пришел к выводу, что если он принадлежит к дневному типу и в этот момент бодрствует, то именно он должен быть колдуном. В то же самое время другой островитянин по имени Борк заключил, что если он либо принадлежит к дневному типу и бодрствует, либо принадлежит к ночному типу и спит, то он (Борк) и есть колдун. Далее выяснилось, что Орк и Борк в это время либо оба одновременно спали, либо бодрствовали.

К какому типу принадлежит колдун — к дневному или ночному?

11. Метаголоволомка.

Однажды я предложил своему приятелю следующую задачу об этом острове:

— Один островитянин в свое время полагал, будто он принадлежит к дневному типу и бодрствует. Кто он на самом деле?

Приятель подумал немного и затем ответил:

— По-моему, этих сведений явно недостаточно, чтобы сказать что-либо определенное.

Разумеется, мой друг был абсолютно прав! Но потом он спросил меня:

— А сам-то ты знаешь, к какому типу он относился и спал он в тот момент или бодрствовал?

— Ну, конечно, — ответил я. — Как раз я хорошо знаком с этим островитянином и прекрасно знаю, к какому типу он принадлежит и в каком состоянии он в то время находился.

Тогда мой приятель задал мне весьма хитроумный вопрос:

— А скажи, если бы ты мне сообщил, к какому типу он принадлежит, было бы у меня достаточно информации, чтобы узнать, спал он или бодрствовал в тот момент?

Я сказал ему правду (то есть ответил «да» или «нет»), и он тут же сумел решить задачу.

К какому типу относился островитянин и спал он в то время или бодрствовал?

12. Более сложная метаголоволомка.

В другой раз я предложил приятелю следующую задачу, связанную с этим островом:

— Одна жительница острова в какой-то момент сочла, будто она принадлежит к ночному типу и спит. Что было с ней на самом деле?

Мой друг тотчас же сообразил, что этих сведений опять недостаточно.

— Предположим, ты сообщил бы мне, к какому типу относилась эта женщина, — сказал мне приятель, — Сумел бы я тогда ответить, спала она в тот момент или бодрствовала?

Я сказал ему правду, но он все равно не смог решить задачу (и этой информации оказалось недостаточно).

Спустя несколько дней я задал эту задачу другому приятелю (не упоминая о своем первом опыте). Этот приятель также понял, что я сообщил ему слишком мало. Тогда он задал мне следующий вопрос:

— Допустим, ты сказал бы мне, спала островитянка в тот момент или бодрствовала. Хватило бы мне информации, чтобы выяснить, к какому типу она принадлежит?

Я снова ответил правду, однако приятель и тут оказался не в состоянии решить задачу (у него тоже не было достаточно информации).

Но зато теперь у вас, читатель, имеется вполне достаточно сведений, чтобы получить ответ! Итак, к какому типу относилась обитательница острова и спала она в то время или бодрствовала?

Эпилог

Предположим, что остров, описанный в этой главе, существовал бы в действительности, а я был бы одним из его обитателей. К какому типу относился бы тогда я — к дневному или ночному? На этот вопрос заведомо можно ответить, основываясь на сказанном мною в данной главе!

Решения

1, 2, 3. Прежде всего заметим, что на острове должны выполняться следующие правила:

Правило 1. Во время бодрствования любой житель острова считает, что он принадлежит к дневному типу.

Правило 2. Во время сна любой островитянин полагает, что он принадлежит к ночному типу.

Правило 3. Жители дневного типа всегда уверены, что они бодрствуют.

Правило 4. Жители ночного типа всегда уверены, что они спят.

Для доказательства правила 1 предположим, что X — житель острова, который в данный момент не спит. Если X принадлежит к дневному типу, тогда он одновременно принадлежит к дневному типу и бодрствует; значит, его суждения в этот момент правильны, и он знает, что относится к дневному типу. С другой стороны, предположим, что X принадлежит к ночному типу. Тогда, поскольку он относится к ночному типу и в данный момент бодрствует, его суждения неверны; поэтому он ошибочно полагает, будто он относится к дневному типу. Итак, суммируя, имеем: когда X бодрствует, то если он принадлежит к дневному типу, он (правильно) считает, что относится к дневному типу; если же он относится к ночному типу, то он (ошибочно) полагает, будто также принадлежит к дневному типу.

Правило 2 доказывается аналогично: когда X спит, то если этот островитянин принадлежит к ночному типу, он (правильно) считает, что он относится к ночному типу, а если он принадлежит к дневному типу, то он (ошибочно) полагает, будто также относится к ночному типу.

Для доказательства правила 3 предположим, что обитатель острова X принадлежит к дневному типу. Пока он не спит, его суждения правильны и, следовательно, он твердо убежден, что бодрствует. Но во время сна его суждения неверны, и, следовательно, тогда он ошибочно полагает, будто он бодрствует. Итак, во время бодрствования он (правильно) считает, что бодрствует, а во время сна он (ошибочно) полагает, будто также бодрствует.

Правило 4 доказывается аналогично правилу 3, и мы предоставляем это сделать самому читателю.

Обращаясь теперь к решению задачи 1, заметим, что в данном случае невозможно определить, правильно ли суждение островитянина. Однако ясно, что в указанный момент он должен был бодрствовать, поскольку если бы островитянин спал, то он был бы убежден, что принадлежит не к дневному, а к ночному типу (согласно правилу 2).

Что касается задачи 2, то здесь также нельзя определить, было ли суждение островитянина верным, однако ясно, что он должен принадлежать к ночному типу, поскольку если бы это было не так, то данный житель острова был бы уверен, что он бодрствует, а не спит (согласно правилу 3).

В отношении же задачи 3 ответом па вопрос «а» является «нет» (потому что в соответствии с правилами 1 и 2 мнение островитянина но поводу того, принадлежит он к дневному или ночному типу, изменяется в зависимости от его состояния (то есть, от того, бодрствует он или же спит), а ответом на вопрос «б» является «да» (в соответствии с правилами 3 и 4).

4. Вы можете решать эту задачу последовательно, рассматривая по очереди каждый из следующих четырех вариантов: 1) островитянка относится к ночному типу и спит, 2) она принадлежит к ночному типу и бодрствует, 3) она относится к дневному типу и спит, 4) она принадлежит к дневному типу и бодрствует.

Можно выяснить, какой же из вариантов не противоречит условиям задачи. Тем не менее я предпочел бы следующее доказательство.

Прежде всего, могут ли убеждения обитательницы острова оказаться ошибочными? Если это так, то она не может ни находиться во сне, ни принадлежать к ночному типу, откуда следует, что она бодрствует и относится к дневному типу. Но такое утверждение приводит нас к противоречию, поскольку человек, который бодрствует и относится к дневному типу, никак не может обладать неверными убеждениями. Таким образом, ее убеждения не могут оказаться ошибочными, а значит, они должны быть верными. Следовательно, данная жительница острова принадлежит к ночному типу и спит.

5. Эту задачу тоже можно решить, последовательно перебрав четыре возможных ответа, но я вновь предпочитаю более творческое решение.

Итак, могло ли мнение этого островитянина оказаться правильным? Если да, то, значит, он действительно находился во сне и принадлежал к дневному типу. Но будучи таковым (то есть спящим и дневного типа), он никак не мог обладать правильным мнением. Таким образом, его суждение было бы ошибочным. Но единственные случаи, когда житель острова может иметь ошибочное суждение — это, когда он либо находится во сне и принадлежит к дневному типу, либо бодрствует и относится к ночному типу. Вместе с тем, если бы островитянин находился во сне и принадлежал к дневному типу, то его суждение оказалось бы правильным (ибо это и есть то, во что он верит). Следовательно, он должен был бодрствовать и относиться к ночному типу.

6. Если вы начнете решать эту задачу перебором, то вам придется рассмотреть 16 случаев! (Четыре возможности для мужа, и для каждого из этих 4 вариантов еще 4 — для жены.) К счастью, есть более простой подход. Прежде всего, поскольку один из супругов спит, а другой бодрствует, и, кроме того, поскольку их суждения прямо противоположны, то они непременно должны принадлежать к одному и тому же типу (то есть оба они одновременно должны относиться либо к дневному, либо к ночному типу). В самом деле, если бы они принадлежали к разным типам, то их суждения оказались бы прямо противоположными в случае, если бы они оба спали или оба бодрствовали, и совпали бы в случае, если бы один из них спал, а другой бодрствовал. Но поскольку мнения супругов, когда один из них спит, а другой бодрствует, не совпадают, то, значит, они должны принадлежать к одному типу.

Предположим поначалу, что оба они относятся к ночному типу. Тогда мнение мужа в тот момент было правильным, и, поскольку он относится к ночному типу, то, понятно, он должен был находиться во сне. Допустим теперь, что оба супруга принадлежат к дневному типу. Тогда очевидно, что муж ошибался, полагая, будто и он, и жена относятся к ночному типу, но поскольку он, согласно условию, принадлежит к дневному типу и к тому же мнение его ошибочно, то он в это время должен был находиться во сне. Итак, независимо от того, к какому типу относятся оба супруга, муж в тот момент должен был спать, а жена — бодрствовать.

7. Эта задача еще проще. Действительно, поскольку супруги принадлежат к разным типам, то их суждения должны быть прямо противоположными, если они находятся в одном и том же состоянии(то есть оба бодрствуют или оба спят), и одинаковыми, если они находятся в различных состояниях (то есть один из них спит, а другой бодрствует). Но поскольку в описываемом случае их мнения оказались противоположными, то, значит, оба они были в одном и том же состоянии, то есть оба спали или бодрствовали. Стало быть, жена Байрона была права.

8. Очевидно, в тот момент Эдвард находился несколько не в себе, одновременно придя к двум логически сключающим друг друга суждениям! Итак, оба утверждения Эдварда должны быть ошибочными. Но поскольку он считал, будто и он, и Элейн относятся к ночному типу, то, значит, оба они к ночному типу не принадлежат. А поскольку он к тому же полагал, что сам он к ночному типу не относится, то, следовательно, как раз он-то и принадлежит к ночному типу. Таким образом, Эдвард относится к ночному типу, но оба они к ночному типу не принадлежат, и, стало быть, Элейн относится к дневному типу. Наконец, поскольку Эдвард относится к ночному типу и в то же время высказал ошибочное суждение, то он должен был бодрствовать. Поэтому ответ таков: сам Эдвард принадлежит к ночному типу и в тот момент бодрствовал, а его сестра относится к дневному типу.

9. Поскольку принцесса перешла в другое состояние, то, стало быть, одно из двух ее суждений было правильным, а другое ошибочным. Это означает, что из следующих двух высказываний одно истинно, а другое ложно:

(1) Король и королева принадлежат к разным типам.

(2) Король относится к дневному типу, а королева принадлежит к ночному типу.

Если высказывание (2) истинно, тогда высказывание (1) также должно быть истинным, однако мы знаем, что высказывания (2) и (1) не могут быть истинны одновременно. Таким образом, высказывание (2) должно быть ложным, а высказывание (1) — истинным. Поэтому король и королева действительно принадлежат к разным типам, но утверждение, что король относится к дневному типу, а королева — к ночному, не соответствует истине. Следовательно, король должен относиться к ночному типу, а королева—к дневному.

10. Предположим, что Орк принадлежит к дневному типу и в тот момент бодрствовал. Следует ли из этого предположения, что Орк должен быть колдуном? Да, следует, и вот почему. Допустим, что Орк действительно относится к дневному типу и в то время бодрствовал. Тогда его суждения правильны, откуда следует, что в случае, если он относится к дневному типу и бодрствует, то он и есть колдун. Но он принадлежит к дневному типу и бодрствует (лишь по предположению), следовательно, он должен быть колдуном (опять-таки, конечно, при условии, что он относится к дневному типу и бодрствует). Таким образом, предположение о том, что Орк относится к дневному типу и бодрствует, приводит нас к выводу, что он — колдун. Это, разумеется, вовсе не указывает ни того, что исходное предположение правильно, ни того, что он колдун, — мы доказали только то, что если бы он относился к дневному типу и бодрствовал, то в этом случае он должен был быть колдуном. Итак, мы установили гипотетическое утверждение, что если бы Орк принадлежал к дневному типу и бодрствовал, то в таком случае он — колдун. Но именно в это гипотетическое утверждение Орк в тот момент и верил; следовательно, мнение Орка было верным! Это означает, что Орк в то время либо относился к дневному типу и бодрствовал, либо принадлежал к ночному типу и спал, однако (пока) мы не можем точно сказать, какой из этих двух вариантов имел место на самом деле. Поэтому наше допущение о том, что Орк является колдуном, совсем не обязательно должно быть истиной, поскольку вполне может оказаться, что он принадлежит к ночному типу и в тот момент спал.

Далее, рассуждая подобным же образом, мы полагаем, что суждение Борка тоже верно. В самом деле, если Борк принадлежит к дневному типу и бодрствует или относится к ночному типу и спит — то в любом из этих случаев его суждение является правильным, откуда следует, что он непременно должен быть колдуном. Но это то, во что верит Борк, и, следовательно, его суждение верно. Теперь, поскольку суждение Борка верно, он либо относится к дневному типу и в тот момент бодрствовал, либо принадлежит к ночному типу и в тот момент спал. Однако же и в том, и в другом случае он должен быть колдуном.

Поскольку Борк — колдун, то, значит, Орк в свою очередь колдуном не является. Стало быть, Орк не мог в тот момент бодрствовать и не мог принадлежать к дневному типу, поскольку мы установили, что если бы это оказалось именно так, то колдуном обязательно должен был быть он. Таким образом, Орк в тот момент находился во сне и, кроме того, он принадлежит к ночному типу. Следовательно, Борк в тот момент тоже находился во сне, а поскольку суждение Борка оказалось правильным, то, значит, Борк должен относиться к ночному типу. Итак, колдун относится к ночному типу.

11. Из того, что островитянин считал, будто он принадлежит к дневному типу и бодрствует, мы можем сделать лишь один вывод — что он не относился к ночному типу и не спал. При этом у нас имеются три возможности.

(1) Он принадлежал к ночному типу и бодрствовал (причем его суждения были ошибочными).

(2) Он принадлежал к дневному типу и спал (и его суждения были ошибочными).

(3) Он принадлежал к дневному типу и бодрствовал (и его суждения были правильными).

Предположим теперь, что я сообщил моему приятелю, к какому типу относится островитянин. Мог бы в таком случае мой приятель решить задачу? Так вот, это в огромной степени зависело бы от того, что именно я ему сказал. Если бы я сообщил ему, что островитянин относится к ночному типу, тогда он сразу понял бы, что вариант (1) является при этом единственно возможным, и поэтому тотчас же сообразил бы, что островитянин бодрствовал. С другой стороны, если бы я сказал ему, что островитянин принадлежит к дневному типу, то это сразу исключило бы вариант (1), но сохранило бы варианты (2) и (3), причем мой приятель никак не смог бы выяснить, какая же из этих двух возможностей имеет место в действительности. Таким образом, в последнем случае он не сумел бы решить задачу.

Вместе с тем мой друг вовсе не требовал от меня ответа на вопрос, к какому типу относится островитянин; он лишь спросил меня, смог бы он решить задачу, если бы я сообщил ему, к какому типу принадлежит данный житель острова. На самом деле, если бы островитянин принадлежал к дневному типу, то на вопрос приятеля я должен был бы ответить «нет» (потому что, как показано выше, если бы я сообщил ему, что островитянин принадлежит к дневному типу, то он вообще не смог бы решить задачу). В то же время если бы житель острова относился к ночному типу, то на вопрос приятеля я ответил бы «да» (потому что, как мы только что показали, если бы я сообщил ему, что островитянин относится к ночному типу, то мой приятель вполне мог бы решить задачу). Таким образом, поскольку мой друг знал, что островитянин относится к ночному типу и бодрствует, то, стало быть, я ответил ему «да».

12. Из того, что жительница острова полагала, будто она принадлежит к ночному типу и спит, мы можем сделать один-единственный вывод — что она не принадлежала к дневному типу и не бодрствовала. При этом у нас остаются три возможности:

(1) Она принадлежала к ночному типу и спала.

(2) Она принадлежала к ночному типу и бодрствовала.

(3) Она принадлежала к дневному типу и спала. Если бы на вопрос моего первого приятеля я ответил «да», он тотчас же догадался бы, что единственной возможностью решения задачи в таком случае является вариант (3) (рассуждая при этом совершенно аналогично тому, как это делалось при решении предыдущей задачи). Но поскольку он не сумел решить задачу, то, по всей видимости, я ответил ему «нет». Естественно, что этот ответ исключает из рассуждения вариант (3), и поэтому у нас остаются лишь варианты (1) и (2). Обратимся теперь к вопросу, который мне задал мой второй приятель. Если бы я ответил ему «да», то он сразу же сообразил бы, что единственной реальной возможностью решения задачи является вариант (2) (только этот вариант относится к случаю, когда обитательница острова бодрствует, в то время как варианты (1) и (3) могут иметь место лишь в случае, когда она спит). Поскольку второй приятель также не смог решить задачу, стало быть, я опять ответил ему «нет», а это сразу отбрасывает вариант (2). Итак, нам остается только вариант (I), который и имел место в действительности, — то есть, что жительница острова относилась к ночному типу и находилась ко сне. как она сама справедливо и полагала.

Подведем итоги: то, что мой первый приятель не сумел решить задачу, исключает из рассмотрения случай (3), а то, что ее не смог решить второй приятель, отбрасывает случай (2). Таким образом, нам остается только вариант (3), а именно что обитательница острова принадлежала к ночному типу и спала.

Эпилог. В начале этой главы я упоминал, будто бы весь этот остров мне приснился. Вместе с тем, если бы такого рода остров существовал на самом деле, то, значит, мне приснились бы истинные события. Поэтому, если бы я оказался одним из его обитателей, то меня следовало бы отнести к ночному типу.

Метаголоволомки

Последние две головоломки предыдущей главы (не считая эпилога) — образцы восхитительного класса задачек, которые мне хочется назвать метаголоволомками, или головоломками о головоломках. Например, нам предлагают головоломку без достаточного количества исходных данных, необходимых для ее решения, а потом сообщают, что кто-то еще либо смог, либо не смог решить эту задачу, воспользовавшись некоторой дополнительной информацией, но не всегда говорят, что же это была за информация. Суть, однако, в том, что мы все же получаем некую частичную информацию, которая в конце концов и позволяет нам найти решение задачи. Задачи этого жанра, к сожалению, редко встречаются в книгах. Ниже предлагаются пять таких головоломок — сначала совсем легкие, потом посложнее, а последняя венчает и эту главу, и предыдущие.

1. Дело Джона.

Как-то раз шло судебное расследование по делу двух братьев-близнецов. Было известно, что по крайней мере один из них никогда не говорил правду, хотя и не ясно, кто же именно. Одного из братьев звали Джон — именно он и совершил преступление. (При этом вовсе не обязательно, чтобы Джон был тем из близнецов, который всегда лгал.) Цель расследования заключалась в том, чтобы выяснить, кого же из братьев зовут Джон.

— Вы — Джон? — спросил судья одного из близнецов.

— Да, я Джон, — последовал ответ.

— А вы — Джон? — спросил судья второго брата.

Второй близнец ему ответил вполне определенно (либо «да», либо «нет»), и тут судья сразу догадался, кто из них Джон.

Был Джон первым или вторым из близнецов?

2. Трансильванская метаголоволомка.

Как мы уже знаем из гл. 4, все жители Трансильвании делятся на 4 типа:

1) люди в здравом уме;

2) люди, лишившиеся рассудка;

3) упыри, находящиеся в здравом уме;

4) упыри, лишившиеся рассудка.

Люди в здравом уме высказывают только истину (их утверждения всегда правильны и сами они честны). Люди, лишившиеся рассудка, всегда лгут (в силу собственных заблуждений, но отнюдь не умышленно). Упыри в здравом уме также всегда лгут (в силу своей природы, а не по заблуждению). Упыри, лишившиеся рассудка, всегда говорят правду (они убеждены в том, что их утверждения ложны, но умышленно лгут).

Так вот однажды три логика делились своими впечатлениями о поездках в Трансильванию, которые им пришлось в разное время совершить.

— Когда я там был, — сказал первый логик, — я встретил одного трансильванца, которого звали Айк. Я спросил его, является ли он человеком в здравом уме.

Айк мне ответил вполне определенно («да» или «нет»), но из его ответа я не сумел понять, к какому же типу он относится.

— Какое странное совпадение, — сказал второй логик я тоже повстречал этого самого Айка во время посещения острова. Я спросил его, является ли он упырем в здравом уме; он ответил мне вполне определенно («да» или «нет»), но я так и не смог сообразить, к какому типу он принадлежит.

— Какое совпадение! — воскликнул третий логик.

— Когда я был на острове, я тоже столкнулся с Айком и спросил его, является ли он упырем, лишившимся рассудка. Он тоже ответил мне вполне определенно («да» или «нет»), однако я, как и вы, не смог установить, кем же он был в действительности.

Находится ли Айк в здравом уме или он лишился рассудка? Человек он или упырь?

3. Метаголоволомка о рыцаре и плуте.

В моей уже упоминавшейся книге «Как же называется эта книга?» приведено множество увлекательных задач об острове, обитатели которого относятся либо к рыцарям, либо к плутам. При этом рыцари всегда говорят правду, а плуты всегда лгут. Вот еще одна задача о рыцарях и плутах, относящаяся к метаголоволомкам.

Один мудрец как-то раз посетил этот остров, где повстречал двух его жителей, А и В. Мудрец спросил А: «Вы оба рыцари?» А ответил ему «да» или «нет». Мудрец поразмышлял некоторое время, но потом понял, что у него не хватает сведений, чтобы определить, к какому же типу они относятся. Тогда мудрец задал А еще один вопрос: «Вы оба одного типа?» (Слова «одного типа» означают, что они либо оба рыцари, либо оба плуты.) А ответил «да» или «нет», и тут до мудреца сразу дошло, к какому типу относится каждый из островитян.

К какому типу принадлежат А и В?

4. Рыцари, плуты и нормальные люди.

На другом острове, где живут рыцари, плуты и нормальные люди, рыцари всегда говорят только правду, плуты всегда лгут, а люди, которых принято называть нормальными, в одних случаях лгут, а в других высказывают правду.

Однажды я посетил этот остров и встретил двух его обитателей, А и В. Еще раньше мне было известно, что один из них рыцарь, а другой — нормальный человек, однако я не знал, кто же именно. Я спросил А, является ли В нормальным человеком, на что А ответил мне вполне определенно. Тут я сразу понял, кем являются А и В.

Итак, кто же из этих двух обитателей острова нормальный человек?

6. Кто шпион?

Ну вот, мы и добрались до куда более хитрой метаголоволомки!

В одном суде проходило разбирательство по делу трех обвиняемых: А, В и С. К началу слушания удалось выяснить, что один из этой троицы был рыцарем (он всегда говорил только правду), другой — плутом (этот всегда лгал), а третий был шпионом, который оказался нормальным человеком (то есть иногда он лгал, а иногда говорил правду). Целью разбирательства было выявить среди них шпиона.

Поначалу слово предоставили обвиняемому А. Он то ли сообщил, что С — плут, то ли заявил, что С — шпион (точнее нам не известно). Потом предложили высказаться подсудимому В, который то ли утверждал, что А — рыцарь, то ли сказал, что А — плут, то ли заявил, что А — шпион, — точнее выяснить нам опять не удалось. Наконец, когда слово предоставили обвиняемому С, тот то ли сообщил, что В — рыцарь, то ли утверждал, что В — плут, то ли заявил, что В — шпион. Судья разобрался, кто же из них шпион, и вынес справедливый приговор.

Об этой истории как-то рассказали одному логику, который, поразмыслив, в конце концов заявил: «У меня недостаточно информации, чтобы выяснить, кто же из обвиняемых шпион». Тогда логику сообщили, что именно сказал А, после чего он вычислил, кто шпион.

Кто же из обвиняемых является шпионом — А, В или С?

Решения

1. Если бы второй близнец также ответил «да», то судья, очевидно, не смог бы узнать, кто из них Джон. Поэтому ясно, что второй близнец должен был ответить «нет». Это означает, что либо оба брата говорили правду, либо они оба лгали. Однако они не могли говорить правду одновременно, поскольку, согласно условию задачи, по крайней мере один из них всегда лжет. Следовательно, они оба лгали, и, значит, Джоном зовут второго близнеца. (При этом, правда, нельзя установить, кто же из братьев всегда лжет.)

2. Первый логик спросил Айка, является ли он человеком, находящимся в здравом уме. Если Айк действительно нормальный человек, то он ответил бы «да»; если же он сошел с ума, то он также ответил бы «да» (поскольку, будучи лишенным рассудка, он ошибочно полагал бы, будто он — человек, находящийся в здравом уме, и честно высказал бы свое мнение). Если Айк — находящийся в здравом уме упырь, то он также ответил бы «да» (поскольку, находясь в здравом уме, он сознает, что не является нормальным человеком, но солжет и все-таки скажет «да»). Если же Айк оказывается лишившимся рассудка упырем, то он определенно должен ответить «нет» (поскольку, будучи упырем, лишившимся рассудка, он уверен, будто является нормальным человеком, но высказывает ложные суждения). Итак, упырь, лишившийся рассудка, ответил бы на этот вопрос «нет», а трансильванцы остальных трех типов ответили бы «да». Поэтому, если бы Айк ответил «нет», первый логик сразу догадался бы, что Айк — лишившийся рассудка упырь. Однако первый логик не знал, кем является Айк, и, следовательно, он услышал утвердительный ответ. Таким образом, единственный вывод из сказанного — это то, что Айк не является лишившимся рассудка упырем.

Что касается вопроса второго логика: «Являетесь ли вы находящимся в здравом уме упырем?», то лишившийся рассудка человек ответил бы «да», а каждый из трех остальных типов ответил бы «нет». (Доказательство этого мы предоставляем читателю.) Но поскольку второй логик не смог понять из ответа Айка, кем же он был, то ответом на поставленный вопрос должно было быть «нет». Отсюда следует, что Айк не является человеком, лишившимся рассудка.

На вопрос третьего логика «Являетесь ли вы лишившимся рассудка упырем?» нормальный человек ответил бы «нет», а каждый их трех остальных типов ответил бы «да». Но поскольку третий логик так и не смог догадаться, кем же на самом деле был Айк, то, стало быть, он услышал положительный ответ. Отсюда можно сделать вывод, что Айк не является нормальным человеком.

Теперь, поскольку Айк не является ни лишившимся рассудка упырем, ни сошедшим с ума человеком, ни, наконец, человеком в здравом уме, то, следовательно, он должен быть находящимся в здравом уме упырем.

3. У нас имеется четыре возможных случая:

случай 1: А и В — оба рыцари;

случай 2: А — рыцарь, В — плут;

случай 3: А — плут, В — рыцарь;

случай 4: А и В — плуты.

Сначала мудрец спросил А, являются ли они оба рыцарями. При этом, если имеют место случаи 1, 3 и 4, то А должен ответить «да»; если же выполняется случай 2, то ответом А будет «нет». (Мы предоставляем читателю доказать это самостоятельно.) Поскольку мудрец все же выяснил из ответа А, что представляют собой данные жители острова, то, стало быть, А ответил «да». Тем самым из рассмотрения сразу исключается случай 2. Далее мудрец спросил А, относятся ли они оба к одному и тому же типу. В случаях 1 и 3 А ответил бы «да», а в случаях 2 и 4 он должен был ответить «нет». (Доказательство этого мы также оставляем читателю.) Итак, если бы мудрец услышал утвердительный ответ, он мог бы сделать единственный вывод — что имеет место либо случай 1, либо случай 3, но при этом он не знал бы, какой именно. Стало быть, он услышал в ответ «нет». Однако ранее он выяснил, что в такой ситуации должен выполняться либо случай 2, либо случай 4. Но поскольку случай 2 уже исключен нами из рассмотрения, то, следовательно, мудрец понял, что должен иметь место случай 4, то есть что А и В — плуты.

4. Если бы А ответил «да», то он либо мог оказаться рыцарем, либо был бы нормальным человеком (и при этом лгал), однако я никак не мог бы узнать, кем же именно. Если бы А ответил «нет», то он не мог бы оказаться рыцарем (поскольку в этом случае В был бы нормальным человеком, а сам А лгал). Поэтому А должен был быть нормальным человеком. Однако выяснить, кем же является А на самом деле, я мог лишь в одном случае — если бы А сказал «нет». Значит, А действительно нормальный человек. Мы, конечно, полагаем, что оба — и судья, и мудрец, которому предложили эту задачу, — обладали безупречными логическими способностями.

Итак, существуют две возможности: либо логику сказали, что А сообщил, будто С — плут, либо ему было сказано, что А заявил, будто С — шпион. Разберем обе эти возможности отдельно.

Возможность I: А сообщил, будто С—плут.

При этом у нас возникают три случая по отношению к тому, что сказал В, и мы должны исследовать каждый из них.

Случай 1: В утверждал, что А — рыцарь. Тогда:

1) если А — рыцарь, то С — плут (поскольку А сообщил, что С — плут) и, следовательно, В является шпионом;

2) если А — плут, то утверждение, высказанное В, является ложным, откуда сразу следует, что В должен быть шпионом (ведь он не плут, поскольку плутом является А) и, стало быть, С—рыцарь: 3) если А — шпион, то утверждение, высказанное В, вновь оказывается ложным, откуда следует, что В является плутом и, значит, С — рыцарь. Таким образом, мы получаем, что имеет место один из следующих вариантов:

(1) А — рыцарь, В — шпион, С — плут;

(2) А — плут, В — шпион, С — рыцарь;

(3) А — шпион, В — плут, С — рыцарь.

Далее, пусть С заявил, будто В — шпион. Тогда варианты (1) и (3) исключаются из рассмотрения. (Первый из них — потому что С, будучи плутом, никак не мог заявить, что В — шпион, поскольку В как раз им и является; второй — потому что С, будучи рыцарем, никак не мог утверждать, что В — шпион, поскольку В шпионом не является.) Значит, нам остается лишь вариант (2), причем в этой ситуации судья знал бы, что В—шпион

Пусть теперь С заявил, будто В — рыцарь. Тогда единственно возможным оказывается вариант (1), причем случае судье вновь было бы известно, кто шпион, и он признал бы виновным подсудимого В.

Пусть, наконец, С заявил, будто В — плут. Тогда судья не смог бы определить, какой из вариантов имеет место в действительности — вариант (1) или вариант (3). Поэтому он не смог бы указать, кто же является шпионом — А или В, а значит, и не смог бы признать кого-либо из них виновным. Следовательно, С не мог заявить, что В является плутом. (Конечно, у нас все еще действует предположение, относящееся к случаю 1,— что В утверждал, будто А — рыцарь.)

Итак, если имеет место случай 1, то судья мог признать виновным только подсудимого В.

Случай 2: В утверждал, что А — шпион. Предоставим читателю доказать самому, что в этом случае могут иметь место лишь следующие варианты:

(1) А — рыцарь, В — шпион, С — плут;

(2) А — плут, В — шпион, С — рыцарь;

(3) А — шпион, В — рыцарь, С—плут.

Если бы С заявил, будто В — шпион, тогда нам могут встретиться как вариант (2), так и вариант (3), так что в данной ситуации судья никак не сумел бы найти виновного. Если бы С заявил, будто В — рыцарь, то тогда может выполняться лишь вариант (1), и судья признал бы виновным подсудимого В. Если бы, наконец, С заявил, будто В — плут, тогда вполне могут иметь место как вариант (1), так и вариант (3), и судья опять не смог бы обнаружить виновного. Стало быть, С заявил, что В — рыцарь, а подсудимый В был признан виновным.

Итак, в случае 2 виновным оказывается вновь подсудимый В.

Случай 3: В утверждал, что А — плут. Тут у нас имеется 4 варианта (читатель может убедиться в этом сам):

(1) А — рыцарь, В — шпион, С — плут;

(2) А — плут, В — шпион, С — рыцарь;

(3) А — плут, В — рыцарь, С — шпион;

(4) А — шпион, В — плут, С — рыцарь.

Если бы С заявил, будто В—питон, тогда могут иметь место как вариант (2), так и вариант (3), и судья оказывается не в состоянии определить, кто же из подсудимых виновен. Если бы С заявил, будто В — рыцарь, тогда справедливыми могли бы оказаться как вариант (1), так и вариант (3), и судья вновь не смог бы обвинить кого-либо из. подсудимых в шпионаже. Наконец, если бы С заявил, будто В — плут, тогда могли бы выполняться варианты (1), (3) или (4), причем опять-таки судья не смог бы найти виновного.

Таким образом, мы полностью исключили из рассмотрения случай 3. Кроме того, теперь мы знаем, что в действительности могут иметь место либо случай 1, либо случай 2, причем в обоих этих случаях судья признал бы виновным подсудимого В.

Итак, при выполнении возможности I (если А сообщил, будто С — плут) шпионом должен оказаться обвиняемый В. Следовательно, если бы логику сказали о том, что А сообщил, будто С — плут, то он вполне мог бы решить задачу и установить, что подсудимый В является шпионом.

Возможность II. Предположим теперь, что логику было сказано, что А заявил, будто С — шпион. Покажем, что при этом логик оказался бы не в состоянии решить задачу, поскольку вполне могло случиться, что судья признал бы виновным А, или же могла возникнуть ситуация, когда виновным был бы признан В, причем логик никак не мог бы выяснить, какой из этих двух случаев имел место в действительности.

Для доказательства этого предположим, что А заявил, будто С — шпион. Тогда существует вариант, при котором судья мог бы назвать виновным подсудимого А. В самом деле, допустим, что В утверждал, будто А — рыцарь, а С заявил, будто В — плут. Если А в самом деле является шпионом, то В может быть плутом (который лгал бы, утверждая, что А — рыцарь), а С может быть рыцарем (который говорил бы правду, заявляя, будто В — плут). При этом А (будучи по предположению шпионом) солгал бы, сообщив, будто С — шпион. Итак, вполне допустимо, чтобы А, В и С действительно высказали бы эти три утверждения, а также чтобы А оказался шпионом. Далее, если бы шпионом был В, то А должен был бы оказаться плутом, заявляя, будто С — шпион. Точно также должен был бы оказаться плутом и С, поскольку он заявил, будто В — плут; хотя, конечно же, это невозможно. Наконец, если бы шпионом был С, то тогда А должен был бы оказаться рыцарем, поскольку он говорил правду, утверждая, будто С — шпион. При этом рыцарем должен был бы оказаться и В, поскольку он тоже говорил правду, утверждая, будто А — рыцарь; однако это также невозможно. Значит, А должен быть шпионом (в случае если бы В утверждал, что А — рыцарь, а С заявил бы, будто В — плут).

Итак, существует вариант, когда виновным может быть признан именно А.

Теперь рассмотрим вариант, при котором судья назвал бы виновным подсудимого В. Допустим, что В утверждал, что А — рыцарь, а С заявил, будто В — шпион. (Напомню, что мы все еще придерживаемся предположения о том, что А заявил, будто С — шпион.) Если шпионом является А, то В оказывается плутом, утверждая, будто А — рыцарь. Кроме того, плутом должен оказаться и С, который утверждает, что В — шпион, хотя это, понятно, невозможно. Если шпионом является С, тогда А должен быть рыцарем (поскольку он заявляет, будто С — шпион). При этом рыцарем должен оказаться и В, который утверждает, что А — рыцарь, а это также невозможно. Вместе с тем, если шпионом оказывается В, то никакого противоречия не возникает (ведь А мог бы оказаться плутом, который заявил, будто С — шпион; С мог бы быть рыцарем, который заявил, что В — шпион, и, стало быть, В утверждал бы, что А — рыцарь). Итак, вполне допустимо, чтобы А, В и С действительно высказали бы три указанных утверждения, причем в этом случае судья назвал бы виновным подсудимого В.

Итак, я установил, что если А заявил, будто С — шпион, то вполне могло бы случиться, что судья признал виновным А, или же могла бы возникнуть ситуация, когда виновным был бы назван В, причем не существует никакой возможности выяснить, какой же из этих случаев имеет место на самом деле. Значит, если бы логику сказали, что А заявил, будто С — шпион, то логик никак не мог бы решим, задачу. Но поскольку нам известно, что он все-таки нашел решение, то, стало быть, ему сообщили, что А заявил, будто С — плут. Тогда (как мы уже убедились) судья мог назвать виновным только подсудимого В. Итак, В — шпион.