При

предел
.
Доказательство
Покажем, что последовательность

ограничена снизу и убывает начиная с некоторого номера (т.е. финально убывает).
Ограниченность снизу очевидна, поскольку
.
Покажем, что начиная с некоторого номера последовательность убывает, то есть
. Для этого достаточно показать, что начиная с некоторого номера выполняется неравенство
.
.
Очевидно, что
.
Из этого следует, что найдется номер

такой, что

будет верно
.
Так как последовательность

финально убывает и ограничена снизу, то она имеет предел какой-то
.
Переходя к пределу в равенстве
, получим
, откуда с учетом

следует
.