Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел. Заметим, что монотонная последовательность может быть неограниченной только с одной стороны: либо сверху, любо снизу.
Доказательство
Пусть последовательность
Так как множество
Покажем, что
Так как число
Так как число
Ввиду монотонности будем иметь
Утверждение может быть обобщено.
Утверждение
Всякая финально монотонная последовательность имеет предел. При этом, если последовательность ограничена, то предел конечный, в противном случае предел равен либо
Напомню, последовательность