Я приведу два весьма важных с прикладной точки зрения примера задач, которые тесно связаны с фундаментальными теоретическими вопросами.

1. Равномерное распределение точек в многомерном единичном кубе

Начнем с вопроса: как понимать «равномерное»? Существует несколько различных подходов. Один из них основан на минимальном расстоянии между точками. Этот подход ведет к понятию минимальных покрытий. Другой подход, тот, который мы обсудим в деталях, основан на идее подсчета точек в параллелепипедах со сторонами параллельными координатным осям. Такой подход ведет к понятию дискрепанса. Оказывается, что это понятие тесно связано с численным интегрированием функции многих переменных. Основная задача — построение систем точек с наименьшим дискрепансом. Другими словами — построение хороших кубатурных формул. При построении таких кубатурных формул важную роль играют теоретико-числовые методы.

2. Экономное представление функций

В реальной жизни многие сигналы могут быть приближенно представлены в виде линейной комбинации небольшого числа базисных функций. Например, это относится к музыке, где можно использовать тригонометрическую систему в качестве источника базисных функций. Такие представления называются «разреженными» (sparse). В современных проблемах обработки больших данных приходится работать с более общими, чем, скажем, тригонометрическая, системами функций, которые могут быть переполненными. Возникает естественный вопрос. Как строить разреженные приближения? Оказывается, существует общий подход для построения разреженных приближений, который хорошо работает как для систем с хорошей структурой (например, тригонометрическая) так и для общих систем, не имеющих хороших структурных свойств. Этот подход основан на «жадных (greedy) алгоритмах».

Во всех упомянутых направлениях будут сформулированы фундаментальные открытые проблемы.

Темляков Владимир Николаевич — доктор физико-математических наук, профессор.

Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда
Московская область, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
20 июля 2018 г.