Глава 12. От Декарта до Бурбаки

• 12.1. Формализованный язык
• 12.2. Языковая машина
• 12.3. Четыре типа языковой деятельности
• 12.4. Наука и философия
• 12.5. Формализация и метасистемный переход
• 12.6. Лейтмотив новой математики
• 12.7. «Несуществующие» объекты
• 12.8. Иерархия теорий
• 12.9. Аксиоматический метод
• 12.10. Метаматематика
• 12.11. Формализация теории множеств
• 12.12. Трактат Бурбаки

12.1. Формализованный язык

«Следующая остановка — станция Апрелевка, — доносится хриплый голос из репродуктора. — Повторяю: станция Апрелевка. На станции Победа поезд остановки не имеет».

Вы едете на электричке по Киевской железной дороге, а поскольку вы забыли захватить книгу и делать вам нечего, вы начинаете размышлять о том, как небрежно мы все еще относимся к нашему родному языку. В самом деле, что за нелепое выражение «остановки не имеет»? Не проще ли сказать «не останавливается». Ах, эти канцелярские, казенные выражения. Уж пишут об этом, пишут, а толку все нет.

Однако, если вы не сходите в Апрелевке и у вас есть время на дальнейшие размышления, вы поймете, что дело здесь вовсе не в небрежном отношении к родному языку, а в том, что «остановки не имеет» означает не совсем то же самое, что «не останавливается». Понятие остановки в железнодорожном лексиконе не тождественно с понятием прекращения движения. Ему можно дать следующее определение, не слишком изящное, но достаточно точное: остановка — это преднамеренное прекращение движение поезда, сопровождаемое принятием мер, необходимых для обеспечения выхода пассажиров из вагонов и входа в вагоны. Это очень важное для железнодорожников понятие, и оно связано именно с существительным «остановка», а не с глаголом «останавливаться». Так что если, например, машинист остановил поезд, но не открыл пневматических дверей, то поезд «остановился», но не «возымел остановку».

Железнодорожник, делавший объявление, конечно, не производил такого лингвистического анализа. Он просто воспользовался привычным профессиональным термином, что позволило ему выразить свою мысль совершенно точно, хотя и несколько коряво с точки зрения непрофессионала. Это — проявление весьма распространенного явления: когда язык употребляется в сравнительно узких профессиональных целях, наблюдается тенденция к ограничению числа используемых терминов и приданию им более четкого и постоянного смысла. Происходит, как говорят, формализация языка. Если этот процесс довести до логического завершения, то язык будет полностью формализованным.

Понятие о формализованном языке можно определить следующим образом.

Обратимся к нашей схеме использования языковых моделей действительности (см. рис. 9.5) и поставим вопрос: каким образом выполняется преобразование L₁ → L₂, от какой информации оно зависит? Можно представить себе две возможности.

1. Преобразование L₁ → L₂ определяется исключительно языковыми объектами L_i, которые в нем участвуют, и не зависят от тех языковых представлений S_i, которые им соответствуют по семантике языка. Иначе говоря, языковая деятельность зависит только от «формы» языковых объектов, но не от их «содержания» (значения).
2. Результат преобразования языкового объекта L_i зависит не только (и не столько) от вида самого объекта L_i, но и от представления S_i, которое он порождает в голове человека, от ассоциаций, в которые он входит, а, следовательно, от личного жизненного опыта человека.

В первом случае мы называем язык формализованным, во втором неформализованным.

Подчеркнем, что полная формализация языка не обязательно означает его полную алгоритмизацию, т. е. такое положение, когда вся языковая деятельность сводится к выполнению четких и однозначных предписаний, в результате которых каждый языковый объект L₁ преобразуется в совершенно определенный объект L₂. Правила преобразования L₁ → L₂ могут формулироваться в виде более или менее жестких ограничений и оставлять определенную свободу действий, важно только, чтобы эти ограничения зависели лишь от вида объекта L₁ и потенциальных объектов L₂ самих по себе и не зависели от семантики языковых объектов.

Данное нами определение формализованного языка относится к случаю, когда язык используется для создания моделей действительности. Когда язык служит средством передачи управляющей информации (язык приказов), имеет место совершенно аналогичное деление на два возможных типа реакции.

1. Человек реагирует на приказ строго формально, т. е. его действия зависят только от той информации, которая содержится в тексте приказа, рассматриваемом как изолированная материальная система.
2. Действие человека зависит от тех представлений и ассоциаций, которые вызывает у него приказ. Таким образом, он использует фактически гораздо большую информацию, чем та, которая содержится в тексте приказа.

Принципиальной разницы между языком приказов и языком моделей нет. Приказ «прячься!» можно трактовать как модель «если ты не спрячешься, то рискуешь потерять жизнь». Различие между приказом и моделью — в деталях использования информации. В обоих случаях формализованность языка приводит к определенному отделению синтаксиса от семантики, к отрыву материальных языковых объектов от связанных с ними представлений, к приобретению языковыми объектами качеств независимой системы.

В зависимости от того, какого типа язык используется, можно говорить о неформальном и формальном мышлении.

При неформальном мышлении языковые объекты важны главным образом постольку, поскольку они вызывают у нас определенные комплексы представлений. Слова здесь — веревочки, дергая за которые мы извлекаем из памяти частицы нашего жизненного опыта, переживаем их вновь, сопоставляем, сортируем и т. п. Результатом этой внутренней работы является преобразование представлений S₁ → S₂, которое моделирует перемены в окружающей среде R₁ → R₂. Это не значит, однако, что неформальное мышление тождественно с безъязыковым. Во-первых, уже само расчленение потока ощущений зависит от системы понятий, фиксированной в языке. Во-вторых, и в процессе преобразования S₁ → S₂ «натуральный вид» языкового объекта — слово — играет немаловажную роль: мы очень часто пользуемся ассоциацией именно между словами, а не представлениями. Поэтому формулу неформального мышления можно изобразить в виде

(S₁, L₁) → (S₂, L₂).

При формальном мышлении мы оперируем с языковыми объектами как с некоторыми самостоятельными и самодовлеющими сущностями, забывая на время об их семантике и вспоминая о ней лишь тогда, когда надо интерпретировать полученный результат или уточнить исходные посылки. Формула формального мышления такова:

S₁ → L₁ → L₂ → S₂.

Для того чтобы формальное мышление приводило к правильным результатам, семантика языка должна обладать определенными свойствами, которые мы характеризуем такими терминами, как точность, определенность, однозначность. Если семантика этими свойствами не обладает, то мы не сможем ввести такие формальные преобразования L₁ → L₂, чтобы, пользуясь ими, получать всегда правильный результат. Можно, конечно, кок-то установить формальные правила преобразований и получить, таким образом, формализованный язык, но это будет язык, приводящий иногда к ложным выводам. Вот пример умозаключения, приводящего к ложному результату из-за неоднозначности в семантике:

Итак, на деле точность семантики и формализованность синтаксиса неотделимы и формализованным языком называется язык, который удовлетворяет обоим критериям. Однако ведущим критерием является критерий синтаксический, ибо само понятие точной семантики можно строго определить только через синтаксис. А именно семантика точна, если можно установить формализованный синтаксис, дающий только верные модели действительности.

12.2. Языковая машина

Так как синтаксические преобразования L₁ → L₂ в рамках формализованного языка определяются только физическим видом объектов L_i, формализованный язык есть, в сущности, машина, производящая различные перемещения символов. Для полностью алгоритмизированного языка, например арифметики, этот тезис представляется совсем очевидным и иллюстрируется существованием машин в обычном, узком смысле слова (арифмометр, электронная вычислительная машина), выполняющих арифметические алгоритмы. Если правила преобразования представляют собой лишь ограничения, то, во-первых, можно построить алгоритм, который по заданным L₁ и L₂ определяет, законно ли преобразование L₁ → L₂, во-вторых, можно построить алгоритм («глупый»), который по заданному L₁ начинает выдавать все законные результаты L₂ и продолжает этот процесс до бесконечности, если число возможных L₂ не ограничено. В обоих случаях мы имеем дело с некоторой языковой машиной, которая может работать без вмешательства человека.

Формализация языка имеет два непосредственных следствия. Во--первых, упрощает процесс использования языковых моделей, ибо появляются четкие правила преобразования L₁ → L₂. В предельном случае полной алгоритмизации это преобразование вообще может производиться автоматически. Во-вторых, языковая модель становится независимой от создавшего ее человеческого мозга, она становится объективной моделью действительности. Ее семантика отражает, конечно, понятия, возникшие в процессе развития культуры человеческого общества, но и по синтаксису она представляет собой языковую машину, которая может продолжать работать и сохранять свой смысл модели действительности даже в том случае, если все человечество внезапно вымрет. Изучая эту модель, разумное существо, имеющее определенное представление о предмете моделирования, сможет, вероятно, путем сопоставления модели со своими знаниями, восстановить семантику языка. Представим себе, что люди построили механическую модель Солнечной системы, в которой планеты изображаются шариками соответствующих размеров, вращающимися на стерженьках вокруг центрального шара — Солнца по соответствующим орбитам и с соответствующими периодами. И допустим, что эта модель попала в руки (или в щупальца?) обитателей соседней звездной системы, которые кое-что знают о нашей Солнечной системе, например расстояния до Солнца нескольких планет или времена их обращения. Тогда они смогут сообразить, что находится перед ними, и получат дополнительные сведения о Солнечной системе. То же относится и к научным теориям, которые суть модели реальности в различных ее аспектах, выполненные в материале формализованного знакового языка. Подобно механической модели Солнечной системы каждая из них может быть, в принципе, расшифрована и использована любыми разумными существами.

12.3. Четыре типа языковой деятельности

Язык можно характеризовать не только степенью его формализованности, но и степенью его абстрактности, которая измеряется обилием и сложностью используемых языковых конструктов. Как мы отмечали в главе 7, правильнее было бы говорить не об абстрактности, а о «конструктности» языка, но термин этот пока не принят, поэтому мы пользуемся термином «абстрактность», который в обычном употреблении чаще обозначает именно конструктность, чем абстрактность в точном смысле слова. Язык, не использующий конструктов или использующий лишь конструкты самого низкого уровня, назовем конкретным. Язык, использующий сложные конструкты, назовем абстрактным. Деление это, хотя оно является условным и относительным, имеет, тем не менее, вполне ясный смысл. И оно не зависит от деления языков на формализованные и неформализованные — это два разных аспекта языка. Комбинируя эти аспекты, мы получаем четыре типа языков, используемых в четырех важнейших сферах языковой деятельности. Их можно расположить в следующую табличку:

Ни вертикальное, ни горизонтальное деление не является строгим, однозначным, а носит, скорее, характер количественных различий. На границах между этими «чистыми» типами языков располагаются переходные типы.

Для искусства характерен язык неформализованный и конкретный. Слова важны лишь как символы, вызывающие определенные комплексы представлений и переживаний. Эмоциональная сторона имеет, как правило, решающее значение. Однако и познавательная сторона весьма существенна; в наиболее значительных произведениях искусства эти стороны неразделимы. Основным выразительным средством является образ, который может быть синтетичен, но всегда остается конкретным.

Двигаясь по горизонтали, мы переходим от искусства к философии, которая характеризуется абстрактным неформальным мышлением. Сочетание чрезвычайной конструктности используемых понятий с незначительной степенью формализации, требующее напряженной работы интуиции, делает философский язык, без сомнения, самым трудным типом языка из всех четырех видов. Когда искусство затрагивает абстрактные идеи, оно смыкается с философией. С другой стороны, и философия для поощрения интуиции сплошь и рядом использует художественный образ и здесь она граничит с искусством.

Перемещаясь в нашей табличке вниз, мы из области философии попадаем в область теоретических наук с языком абстрактным и формализованным. Науке вообще свойственен формализованный язык; различие между описательными и теоретическими науками заключается в различной степени использования понятий-конструктов. Язык описательной науки должен быть конкретным и точным, формализованность синтаксиса сама по себе большой роли не играет, она выступает как критерий точности семантики (логическая согласованность определений, полнота классификаций и т. п.). Модели мира, даваемые описательными науками, выражаются в терминах обыденных нейронных понятий или понятий низкой конструктности и собственно как модели они банальны и однотипны: если сделать то-то и то-то (например, поехать в Австралию, вскрыть брюшную полость лягушки и т. п.), то можно увидеть то-то и то-то. Напротив, вся суть теоретических наук в том, что они дают принципиально новые модели действительности — научные теории, основанные на понятиях--конструктах, отсутствующих на нейронном уровне. Формализованность синтаксиса играет здесь решающую роль. Предельную точку в этом квадрате нашей таблички образует математика, содержащая самые сложные конструкты и использующая полностью формализованный язык. Собственно говоря, математика — это и есть язык: формализованный язык, используемый теоретическими науками.

Перемещаясь от описательных наук вверх, мы снова оказываемся в сфере искусства. Где-то на грани между описательными науками и искусством лежит деятельность журналиста или писателя-натуралиста.

12.4. Наука и философия

Из формализованности языка науки вовсе не следует, что ученые могут ограничиться чисто формальным мышлением. Применение готовой теории требует действительно формальных операций, не выходящих за рамки определенного языка. Но создание новой теории — это всегда выход за рамки формальной системы, это всегда метасистемный переход большего или меньшего масштаба.

Конечно, никак нельзя сказать, что все те, кто не разрушает старых формализмов, занимаются вещами банальными и нетворческими. Это относится только к тем, кто действует в соответствии с уже имеющимися алгоритмами, выполняя по существу функции языковой машины. Однако достаточно сложные формальные системы не алгоритмизуемы и представляют широкое поле для творческой деятельности. Действие в рамках такой системы можно сравнить с игрой в шахматы. Чтобы хорошо играть в шахматы, надо долго учиться, запомнить много разных вариантов и комбинаций, приобрести специфическую шахматную интуицию. Так и ученый, имеющий дело со сложным формализованным языком (т. е. с математикой — чистой или прикладной), путем многолетнего обучения и тренировки развивает в себе интуицию своего языка, часто весьма узкого, и получает новые теоретические результаты. Это, конечно, деятельность и благородная, и творческая.

И все-таки выход за рамки старого формализма — это еще более серьезный творческий шаг. Если ученых, о которых мы говорили выше, можно назвать учеными-шахматистами, то ученых, создающих новые формализованные языки и теории, можно назвать учеными-философами. Пример сопоставления этих двух типов ученых мы видели в предыдущей главе — это пара Ферма-Декарт. Понятия новых теорий не возникают из пустоты в точном и формализованном виде. Они выкристаллизовываются постепенно в процессе абстрактного, но не формализованного, т. е. философского, мышления. Здесь также требуется интуиция, но интуиция другого рода — философская. «Наука, — писал Декарт в «Рассуждении о методе», — заимствует свои принципы из философии».

Создание фундаментальных научных теорий лежит в пограничной области между философией и наукой. Пока ученый оперирует с привычными понятиями в рамках привычного формализованного языка, он не нуждается в философии. Он подобен шахматисту, переставляющему одни и те же фигуры на одной и той же доске, но решающему разные задачи. И он получает новые результаты, опираясь на свою шахматную, комбинаторную интуицию. Но при этом никогда не выйдет за пределы того, что заложено в его языке, в его шахматах. Улучшить сам язык, формализовать то, что еще не формализовано, — это, значит, прикоснуться к философии. Если новая теория не содержит этого элемента, то она является только следствием старых теорий. Можно сказать, что в каждой теории ровно столько нового, сколько в ней философии.

Из сказанного ясно, какое значение имеет философия для деятельности ученого. В «Диалектике природы» Ф.Энгельс писал:

Это звучит удивительно современно!

12.5. Формализация и метасистемный переход

Превращение языка в независимую от создавшего его человеческого мозга реальность, происходящее благодаря формализации, имеет далеко идущие последствия. Только что созданная языковая машина (теория) становится, как часть окружающего человека мира, объектом изучения и описания с помощью нового языка. Происходит, таким образом, метасистемный переход. Новый язык называют по отношению к описываемому языку метаязыком, а теории, сформулированные на этом языке и касающиеся теорий на языке-объекте, — метатеориями. Если метаязык формализованный, то он в свою очередь может стать объектом изучения с помощью языка следующего уровня и этот метасистемный переход может повторяться неограниченно.

Таким образом, формализация языка порождает эффект лестницы (см. главу 5). Подобно тому, как овладение общим принципом производства орудий для воздействия на предметы приводит к многократному повторению метасистемного перехода и созданию иерархической системы промышленного производства, так и овладение общим принципом описания (моделирования) действительности с помощью формализованного языка приводит к созданию иерархической системы формализованных языков, на которой основаны современные точные науки. Обе иерархии имеют значительную высоту. Невозможно построить реактивный самолет голыми руками. То же относится и к инструментам, необходимым для постройки самолета. Надо начинать с простейших орудий и пройти всю иерархию сложности инструментов, чтобы добраться до самолета. Точно так же, чтобы обучить дикаря квантовой механике, придется начать с арифметики.

12.6. Лейтмотив новой математики

Суть того, что произошло в математике в XVII в., — овладение общим принципом использования формализованного языка, давшее начало движению вверх по лестнице, которое привело к грандиозным достижениям и продолжается до настоящего времени. Правда, тогда этот принцип не был так четко сформулирован, как это мы делаем теперь, и сам термин «формализованный язык» появился только в XX в. Но фактически он использовался. Реформа Декарта, как мы видели, была первым шагом на этом пути. Сочинения Декарта и, в частности, цитаты, приведенные выше, показывают, что этот шаг отнюдь не был случайным, а вытекал из его метода познания законов природы, который, если сформулировать его в современных терминах, и есть метод создания моделей с помощью формализованного языка. Декарт сознает общность своего метода и его «математичность». В «Правилах для руководства ума» он высказывает уверенность, что должна существовать «некая общая наука, объясняющая все, относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов». Эту науку, пишет он, следует назвать «всеобщей математикой».

Другой великий математик-философ XVII в. г. Лейбниц (1646–1716) уже полностью понимает значение формализации языка и мышления. В течение всей жизни Лейбниц разрабатывал символическое исчисление, названное им «универсальной характеристикой», целью которого было выражать все ясные человеческие мысли и сводить логические умозаключения к чисто механическим операциям. В одной из своих ранних работ он заявляет:

Это, по существу, указание на роль формализованного языка как материального фактора понятий-конструктов, т. е. на его главную роль. Н.Бурбаки в историческом очерке об основании математики пишет:

Идеи Лейбница об «универсальной характеристике» в свое время не получили развития. Дело формализации логики сдвинулось с мертвой точки только во второй половине XIX в. Но идеи Лейбница — свидетельство того факта, что принцип описания действительности с помощью формализованного языка есть врожденная особенность европейской математики, которая всегда была источником ее развития, хотя авторами осознавалась в различной степени.

В наши цели не входит изложение истории современной математики, как и подробное описание понятий, лежащих в ее основе: для этого понадобилась бы отдельная книга. Нам придется удовлетвориться кратким очерком, затрагивающим лишь тот аспект математики, который в первую очередь интересует нас в данной книге, а именно системный аспект.

Лейтмотивом развития математики в течение последних трех столетий было постепенно углубляющееся осознание математики как формализованного языка и вытекающее отсюда возрастание ее «многоэтажности», происходящее путем метасистемных переходов различного масштаба.

В оставшейся части настоящей главы мы рассмотрим важнейшие проявления этого процесса, которые можно назвать вариациями на основную тему, исполняемыми на различных инструментах и в различном сопровождении. Одновременно с ростом здания математики ввысь происходило расширение всех его этажей, в том числе самого нижнего, т. е. сферы приложений.

12.7. «Несуществующие» объекты

Мы уже говорили о «невозможных» числах: иррациональных, отрицательных, мнимых. С точки зрения платонизма использование таких чисел совершенно недопустимо, а соответствующие знаки бессмысленны. Однако индийские и арабские математики стали их понемногу использовать, а в современной математике они укоренились окончательно и бесповоротно и получили подкрепление в виде новых «несуществующих» объектов таких, как бесконечно удаленная точка плоскости. Но это произошло не сразу и возможность получать правильные результаты, оперируя с «несуществующими» объектами, долгое время представлялась удивительной и таинственной. В 1612 г. математик Клавий по поводу правила «минус на минус дает плюс» писал: «Здесь проявляется слабость человеческого разума, который не в состоянии постигнуть, почему оно может быть верным».

В 1674 г. Гюйгенс по поводу одного соотношения между комплексными числами замечает: «Здесь таится что-то для нас непонятное». «Непостижимые загадки математики» — любимое выражение начала XVIII столетия. Даже Коши в 1821 г. обладал еще весьма неясными представлениями о действиях над комплексными величинами³.

Последние сомнения и неясности, связанные с не интерпретируемыми объектами, исчезли только с введением аксиоматического подхода к математическим теориям и окончательным осознанием «языковости» математики. Сейчас мы считаем, что удивляться или противиться наличию в математике таких объектов не больше оснований, чем оснований удивляться или противиться наличию у автомобиля других деталей, кроме четырех колес, которые непосредственно соприкасаются с землей и приводят автомобиль в движение. Комплексные числа и тому подобные объекты — это внутренние «колесики» математических моделей, которые связаны с другими «колесиками», но не связаны непосредственно с «землей», т. е. элементами неязыковой действительности. Поэтому можно действовать с ними, как с формальными объектами (т. е. со знаками, нарисованными на бумаге), в соответствии с их свойствами, определяемыми' аксиомами. И не следует огорчаться из-за того, что вы не можете пойти в булочную и купить √-15 бубликов.

12.8. Иерархия теорий

Осознание принципа описания действительности с помощью формализованного языка порождает, как мы видели, эффект лестницы. Вот пример лестницы из трех ступенек. Арифметика — это теория, которую мы применяем непосредственно к таким объектам неязыковой реальности, как яблоки, овцы, рубли, килограммы товаров. По отношению к ней школьная алгебра является метатеорией, которая знает лишь одну реальность — числа и числовые равенства, а ее буквенный язык — это метаязык по отношению к языку цифр арифметики. Современная аксиоматическая алгебра является метатеорией по отношению к школьной алгебре. Она имеет дело с некоторыми объектами (природа которых не уточняется) и некоторыми операциями над этими объектами (природа операций также не уточняется). Все выводы делаются из свойств операций. В приложениях аксиоматической алгебры к проблемам, сформулированным на языке школьной алгебры, объекты интерпретируются как переменные, а операции — как арифметические действия. Но современная алгебра с не меньшим успехом применяется и к другим ветвям математики, например к анализу или геометрии.

Углубленное изучение математической теории порождает новые математические теории, которые рассматривают исходную теорию в ее различных аспектах. Следовательно, каждая из этих теорий в некотором смысле проще (фундаментальнее), чем исходная теория, подобно тому, как исходная теория проще, чем действительность, которую она рассматривает всегда лишь в каком-то одном аспекте. Происходит расщепление моделей, выделение из сложной модели набора более простых моделей. Формально новые теории столь же универсальны, как исходная теория: их можно применять к любым объектам, которые удовлетворяют аксиомам независимо от их природы. При аксиоматическом подходе различные математические теории образуют, строго говоря, не иерархию по управлению, а иерархию по сложности. Однако, рассматривая те модели, которые на самом деле выражают законы природы (т. е. используются в приложениях математики), мы видим, что математические теории вполне отчетливо делятся на уровни сообразно характеру объекта, к которому они в действительности применяются. Арифметика и элементарная геометрия непосредственно контактируют с неязыковой действительностью, а какая-нибудь теория групп используется для создания новых физических теорий, из которых извлекаются следствия, выраженные на языке алгебры и анализа, которые затем «доводятся до числа» и только после этого сравниваются с экспериментом. И это распределение теорий по уровням соответствует в целом тому порядку, в котором они возникали исторически, ибо возникали они путем последовательных метасистемных переходов. Ситуация здесь в сущности такая же, как и в иерархии орудий производства. Ведь и отверткой можно при желании ковырять землю. Однако изобретена она была не для того и нужна в действительности лишь тому, у кого есть винты, болты или шурупы. Теорию групп можно иллюстрировать простыми примерами из обыденной жизни или элементарной математики, но по-настоящему ее используют лишь математики и физики-теоретики. Продавцу в магазине или инженеру-практику теория групп нужна не больше, чем отвертка первобытному человеку.

12.9. Аксиоматический метод

Для древних греков объекты математики имели реальное существование в «мире идей». Некоторые свойства этих объектов представлялись умственному взору совершенно неоспоримыми и объявлялись аксиомами, другие — неочевидные — следовало доказывать, опираясь на аксиомы. При таком подходе не было большой необходимости в точной формулировке и полном перечне всех аксиом: если в доказательстве используется какое-то неоспоримое свойство объектов, то не так уж важно, занесено оно в список аксиом или нет — истинность доказываемого свойства от этого не страдает. Хотя Евклид в своих «Началах» и приводит список определений и аксиом (включая постулаты), он, как мы видели в главе 10, сплошь и рядом использует положения, интуитивно совершенно очевидные, но не входящие в число аксиом. Что же касается его определений, то число их больше, чем число определяемых объектов, и они совершенно непригодны для использования в процессе доказательства. Список определений в первой книге «Начал» начинается следующим образом.

1. Точка есть то, что не имеет частей.
2. Линия есть длина без ширины.
3. Концы линий суть точки.
4. Прямая линия есть та, которая одинаково лежит относительно всех своих точек.

И так далее, всего 34 определения. Швейцарский геометр Ж.Ламберт (1728–1777) заметил по этому поводу: «То, что Евклид предпосылает в таком изобилии опеределения, есть нечто вроде номенклатуры. Он, собственно говоря, поступает так, как поступает, например, часовщик или другой ремесленник, начиная знакомить учеников с названиями орудий своего мастерства».

Тенденция к формализации математики породила тенденцию к уточнению определений и аксиом. Уже Лейбниц обратил внимание на то, что построение Евклидом равностороннего треугольника опирается на положение, которое из определений и аксиом не вытекает (мы разбирали это построение в главе 10). Однако лишь создание неевклидовой геометрии Н.Лобачевским (1792–1856), И.Больяи (1802–1860) и К.Гауссом (1777–1855) повлекло за собой всеобщее признание аксиоматического подхода к математическим теориям как основного метода математики. Первоначально «воображаемая» геометрия Лобачевского, как и все «воображаемые» явления в математике, была встречена с недоверием и враждебностью. Но вскоре неопровержимый факт существования этой геометрии стал менять точку зрения математиков на отношение между математической теорией и действительностью. Математик не мог отказать геометрии Лобачевского в праве на существование, ибо была доказана ее непротиворечивость. Правда, геометрия Лобачевского противоречила нашей геометрической интуиции, но при достаточно малом параметре кривизны пространства она в малых объемах пространства была неотличима от геометрии Евклида. Что же касается космических масштабов, то совершенно не очевидно, что мы можем и здесь довериться нашей интуиции, сформировавшейся под воздействием опыта, ограниченного малыми объектами. Итак, мы имеем перед собой две конкурирующие геометрии, и возникает вопрос, какая же из них «истинная»?

Стоит задуматься над этим вопросом, как становится ясным, что слово «истинная» не зря взято в кавычки. Строго говоря, эксперимент может дать ответ не на вопрос об истинности или ложности геометрии, а лишь на вопрос о ее полезности или бесполезности, а точнее, о степени полезности, ибо совсем бесполезных теорий, пожалуй, не существует. Эксперимент имеет дело не с геометрическими, а с физическими понятиями. При обращении к эксперименту мы вынуждены как-то интерпретировать геометрические объекты, например, считать, что прямые линии реализуются световыми лучами. Если мы обнаружим, что сумма углов треугольника, образованного световыми лучами, меньше 180, то это вовсе не значит, что геометрия Евклида «ложна». Быть может, она «истинна», но свет распространяется не по прямым, а по дугам окружностей или каким-либо другим кривым линиям. Выражаясь более точно, эксперимент этот покажет, что лучи света нельзя рассматривать как евклидовы прямые. Сама евклидова геометрия этим опровергнута не будет. То же относится, конечно, и к неевклидовой геометрии. Эксперимент может дать ответ на вопрос, является ли луч света воплощением прямой Евклида или прямой Лобачевского, и это, конечно, важный аргумент при выборе той или другой геометрии в качестве основы для физических теорий, но права на существование у той геометрии, которой «не повезло», он не отнимает. Быть может, ей повезет в следующий раз, и она окажется весьма удобной для описания какого-то другого аспекта действительности.

Подобные соображения привели к переоценке относительной важности природы математических объектов и их свойств (включая отношения как свойства пар, троек и т. д. объектов). Если прежде объекты представлялись имеющими независимое реальное существование, а их свойства — чем-то вторичным и производным от природы, то теперь именно свойства объектов, зафиксированные в аксиомах, стали той основой, которая определяет специфику данной математической теории, а объекты утратили всякую специфику и вообще утратили свою «природу», т. е. связываемые с ними в обязательном порядке интуитивные представления; в аксиоматической теории объект это нечто, удовлетворяющее аксиомам. Аксиоматический подход окончательно утвердился на рубеже XIX и XX вв. Интуиция, конечно, сохранила свое значение основного (и, пожалуй, единственного) инструмента математического творчества, но окончательным результатом творчества стала считаться полностью формализованная аксиоматическая теория, которая путем интерпретации может применяться к другим математическим теориям или к неязыковой действительности.

12.10. Метаматематика

Формализация логики была начата (если не считать первых попыток Лейбница) в середине XIX в. работами Дж.Буля (1815-1864) и закончена к началу XX в. главным образом благодаря работам Шредера, К.С.Пирса, Фреге и Пеано. В фундаментальном труде Рассела и Уайтхеда «Principia Mathematica» (вышел в 1910 г.) уже используется формализованный язык, который, если не считать несущественных вариаций, является общепринятым по настоящее время. Этот язык мы описали в главе 6, теперь мы дадим краткий набросок формализации логического вывода.

Существует несколько эквивалентных друг другу формальных систем логического вывода. Мы остановимся на самой компактной. Она использует всего одну логическую связку — импликацию ⊃ и один квантор — квантор общности ∀. Зато она включает логическую константу, которая изображается символом 0 и обозначает тождественно ложное высказывание. Используя эту константу, можно описать отрицание высказывания p как p ⊃ 0, а из отрицания и импликации легко построить и остальные логические связки. Квантор существования выражается через отрицание и квантор общности, таким образом, наш сжатый язык эквивалентен полному языку, рассмотренному в главе 6.

Формальная система (языковая машина) содержит пять схем аксиом и два правила вывода. Схемы аксиом таковы:

A1. p ⊃ (q ⊃ p).

A2. [p ⊃ (q ⊃ r)] ⊃ [(p ⊃ q) ⊃ (p ⊃ r)].

A3. [(p ⊃ 0) ⊃ 0] ⊃ p.

A4. (∀x)[p ⊃ q(x)] ⊃ [p ⊃ (∀x)q(x)].

A5. (∀x)q(x) ⊃ q(t).

Здесь р, q, r — произвольные высказывания: в схемах А4 и А5 запись q(x) означает, что выделена одна из свободных переменных, от которых зависит высказывание q; запись q(t) означает, что вместо этой переменной подставлен произвольный терм t; наконец, в схеме А4 предполагается, что переменная х не входит свободно в высказывание р.

Выражение «схема аксиом» означает, что высказывание, имеющее вид одной из формул А1 — А5, рассматривается как логическая аксиома. Легко убедиться, что эти аксиомы соответствуют нашей интуиции. Схемы А1 — A3 затрагивают только исчисление высказываний, и их истинность можно проверить по таблицам истинности логических связок. Оказывается, что они истинны всегда независимо от того, какие истинностные значения принимают высказывания р, q и r. Схема А4 гласит, что если q(x) следует при любом х из высказывания р, которое от х не зависит, то из р следует справедливость q(x) при любом х. Схема А5 — это фактически определение квантора общности: если q(x) верно для всех х, то оно верно и для любого t.

Правила вывода можно кратко записать следующим образом:

Здесь над чертой стоят посылки, а под чертой — заключения. Первое правило (носящее по традиции латинское название modus ponens) гласит, что если есть две посылки: высказывание p и высказывание, утверждающее, что из p следует q, то в качестве заключения мы выводим высказывание q. Второе правило — правило обобщения (generalization) основано на том, что если удалось доказать некое высказывание p(x), содержащее свободную переменную х, то можно заключить, что это высказывание будет верно при любом значении этой переменной.

Логическим выводом формулы q из множества формул Х (посылок) называется конечная последовательность формул

D = (d₁, d₂, …, d_n)

такая, что d_n совпадает с q и каждая формула d_i, есть либо формула из множества посылок X, либо логическая аксиома, либо заключение, полученное по правилам вывода из предыдущих формул d_j. Когда мы рассматриваем аксиоматическую теорию, то в качестве множества Х фигурирует совокупность всех аксиом данной теории, а логический вывод некоторой формулы есть ее доказательство.

Итак, доказательство формулы само стало формальным объектом, формулой определенного вида (последовательность логических высказываний), вследствие чего возникла возможность чисто синтаксического исследования доказательств как свойств некоторой языковой машины. На эту возможность указал Д.Гильберт (1862–1943), крупнейший математик XX в., который вместе со своими учениками и заложил основы нового направления. Гильберт ввел понятие метаязыка и назвал новое направление метаматематикой. Термин метасистема, который мы ввели в начале книги (и который сейчас является общепринятым), возник в результате обобщения терминологии Гильберта. Действительно, переход к исследованию математическими средствами математических доказательств – яркий пример крупномасштабного метасистемного перехода.

Основная цель, которую преследовала программа, намеченная Гильбертом, это доказательство непротиворечивости различных систем аксиом. Система аксиом называется противоречивой, если из нее можно вывести некоторую формулу q и ее отрицание ¬q. Легко показать, что если существует хотя бы одна такая формула, т. е. если теория противоречива, то из нее можно вывести любую формулу. Поэтому для аксиоматической теории вопрос о непротиворечивости системы аксиом, на которых она основана, имеет чрезвычайно большое значение. Этот вопрос допускает чисто синтаксическую трактовку: можно ли из заданных формул (наборов знаков), действуя по заданным формальным правилам, получить заданный формальный результат? Из такой постановки вопроса и исходил Гильберт; затем оказалось, что существуют и другие важные свойства теорий, которые можно исследовать синтаксическими методами. На этом пути было получено много интереснейших и важнейших результатов, главным образом негативного характера; однако мы не можем здесь на них останавливаться.

12.11. Формализация теории множеств

Понятие совокупности, или множества, принадлежит к числу фундаментальнейших понятий, данных нам природой, и предшествует понятию числа. В своем первичном виде оно не дифференцируется на понятие конечного и бесконечного множеств, однако, эта дифференциация появляется весьма рано; во всяком случае, в древнейших письменных памятниках мы уже находим понятие о бесконечности и бесконечном множестве. Это понятие использовалось в математике испокон веков, оставаясь чисто интуитивным и само собой разумеющимся, и не подвергаясь специальному рассмотрению, пока Георг Кантор (1845-1918) не создал в 70-х годах свою теорию множеств, которая вскоре легла в основу всей математики. Понятие множества (конечного и бесконечного) остается у Кантора по-прежнему интуитивным, он определяет его следующим образом: «Под множеством понимают объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией и нашей мыслью». Это «определение» является, конечно, не в большей степени математическим определением, чем «определение» Евклида «точка есть то, что не имеет частей». Но, несмотря на столь нечеткие исходные позиции, Кантор (опять-таки подобно греческим геометрам) создал стройную и логически последовательную теорию, с помощью которой ему удалось привести в замечательный порядок основные понятия и доказательства математического анализа. («Просто поразительно, — пишет Н.Бурбаки, — какую четкость постепенно приобретают у него понятия, которые, казалось, были безнадежно запутаны в классической концепции континуума».) С теорией множеств математики получили единообразный метод создания новых понятий — конструктов и доказательства их свойств. Так, например, действительное число есть множество всех последовательностей рациональных чисел, имеющих предел; отрезок действительной прямой — множество действительных чисел; функция — множество пар (x, f), где х и f — действительные числа.

К концу XIX в. теория множеств Кантора получает признание и естественным образом сочетается с аксиоматическим методом. Но тут разражается знаменитый «кризис основ» математики, продолжавшийся в течение трех десятилетий. В теории множеств были обнаружены «парадоксы», т. е. построения, приводящие к противоречиям. Первый парадокс обнаружил Бурали-Форти в 1897 г., затем появилось еще несколько. Мы приведем в качестве примера парадокс Рассела (1905 г.), который можно изложить, опираясь лишь на первичные понятия теории множеств и не нарушая в то же время требований математической строгости. Парадокс этот таков. Определим M как множество всех тех множеств, которые не содержат себя в качестве элемента. Казалось бы, это определение вполне законно, ибо образование множеств из множеств — одна из основ теории Кантора. Между тем оно приводит к противоречию. Чтобы сделать его более ясным, обозначим через Р(х) свойство множества х быть элементом самого себя. В символической форме

P(x) ≡ x ∈ x. (12.1)

Тогда по определению множества М все его элементы х обладают свойством, противоположным Р(х):

x ∈ M ≡ ¬P(x). (12.2)

Теперь поставим вопрос: является ли само множество M своим элементом, т. е. истинно ли P(M)? Если P(M) истинно, то M ∈ M, согласно определению (12.1). Но в таком случае, подставляя M вместо х в утверждение (12.2), мы получаем ¬P(M). Если M входит в множество M, то по определению последнего оно не должно обладать свойством P. И напротив, если P(M) ложно, т. е. имеет место P(M), то согласно (12.2) М должно входить в M, т. е. Р(М) истинно. Таким образом, P(M) не может быть ни истинным, ни ложным. С точки зрения формальной логики мы доказали две импликации:

P(M) ⊃ ¬P(M), ¬P(M) ⊃ P(M).

Если выразить импликацию через отрицание и дизъюнкцию и воспользоваться свойством дизъюнкции A ∨ A ≡ A, то первое высказывание превратится в ¬P(M), а второе — в P(M). Мы получили формальное противоречие и, следовательно, из теории множеств можно вывести что угодно.

Парадоксы создали угрозу для теории множеств и основанного на ней математического анализа; возникло несколько философско-математических направлений, предлагавших различные выходы из тупика. Наиболее радикальное направление во главе с Брауэром, получившее название интуиционизма, потребовало не только полного отказа от теории множеств Кантора, но и коренного пересмотра логики. Интуиционистская математика оказалась довольно сложной и с трудом поддающейся развитию, а поскольку классический анализ при этом выбрасывался на свалку, такая позиция была найдена неприемлемой для большинства математиков. «Никто не может изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором», — заявил Гильберт, и он нашел выход, который сохранил основное содержание теории множеств и в то же время устранил парадоксы и противоречия. Вместе со своими последователями Гильберт сформировал главное русло, по которому направилось течение математической мысли.

Решение Гильберта полностью соответствует духу развития европейской математики. Если Кантор рассматривал свою теорию с сугубо платоновских позиций — как исследование свойств реально существующих и действительно («актуально») бесконечных множеств, то, по Гильберту, множества надо рассматривать просто как некоторые объекты, удовлетворяющие аксиомам, аксиомы же надо сформулировать так, чтобы определения, приводящие к парадоксам, стали невозможны. Первая система аксиом теории множеств, не порождающая противоречий, была предложена Цермело в 1908 г., затем она была модифицирована. Были предложены и другие системы, однако отношение к теории множеств осталось неизменным. В современной математике теория множеств играет роль каркаса, скелета, который соединяет в единое целое все ее части, но не виден снаружи и не соприкасается непосредственно с внешним миром.

По-настоящему понять эту ситуацию и совместить формальный и содержательный аспекты математики можно только с «языковой» точки зрения на математику. Эта точка зрения, которую мы настойчиво проводили на протяжении всей книги, приводит к следующей концепции. Никаких актуально бесконечных множеств нет ни в реальности, ни в нашем воображении. Единственное, что мы можем найти в своем воображении, это представление о потенциальной бесконечности, т. е. о возможности неограниченно повторять какой-либо акт. Здесь надо полностью согласиться с интуиционистской критикой канторовской теории множеств и отдать должное ее глубине и проницательности. Однако для того, чтобы использовать теорию множеств так, как это делает современная математика, вовсе не надо насиловать свое воображение и пытаться представить «актуальную» бесконечность. «Множества», которые используются в математике — это просто символы, языковые объекты, используемые для построения моделей действительности. Постулируемые свойства этих объектов частично соответствуют интуитивным понятиям совокупности и потенциальной бесконечности, поэтому интуиция частично помогает в развитии теории множеств, но иногда и обманывает. Когда новый математический (языковый) объект определяется как «множество», построенное так-то и так-то, это определение не имеет никакого значения для связи объекта с внешним миром, т. е. для его интерпретации, а нужно лишь для привязки к каркасу математики, для зацепления внутренних колесиков математических моделей.

Таким образом, язык теории множеств является фактически метаязыком по отношению к языку содержательной математики и в этом он подобен языку логики. Если логика — это теория доказательства математических утверждений, то теория множеств — это теория конструирования математических языковых объектов.

Почему же именно интуитивное понятие множества легло в основу математического конструирования?

Определить вновь вводимый математический объект — значит указать его семантические связи с уже введенными объектами. За исключением тривиального случая, когда речь идет о пере обозначении — замене знака на знак, этих связей всегда бывает много и в них может участвовать много ранее введенных объектов. И вот вместо того, чтобы говорить, что новый объект связан так-то и так-то с такими-то и такими-то старыми объектами, говорят, что новый объект есть множество, построенное так-то и так-то из старых объектов. Например, рациональное число есть результат деления двух натуральных чисел: числителя на знаменатель. Число ⁵/₇ есть объект х такой, что значение функции «числитель» (x) есть 5, а значение функции «знаменатель» (x) есть 7. Между тем в математике определяют рациональное число просто как пару натуральных чисел. Точно так же надо было бы говорить только о реализации действительного числа различными последовательностями рациональных чисел, понимая под этим определенную семантическую связь между новыми и старыми языковыми объектами. Вместо этого говорят, что действительное число есть множество последовательностей рациональных чисел. В настоящее время эту терминологию следует рассматривать как пережиток платоновских воззрений, согласно которым важны не языковые элементы, а скрывающиеся за ними элементы «идеальной реальности»; поэтому, чтобы приобрести право на существование, объект должен был определяться как «реальное» множество. Идея множества выдвинулась на «руководящую работу» в математике как один из аспектов связи имя-значение (а именно того факта, что значением обычно является конструкция, состоящая из некоторого числа элементов), а вряд ли стоит доказывать, что связь имя-значение всегда была и будет основой языкового конструирования.

12.12. Трактат Бурбаки

В заключение этой главы нельзя не сказать хотя бы несколько слов о многотомном трактате И.Бурбаки «Элементы математики». Никола Бурбаки — коллективный псевдоним, за которым скрывается группа видных математиков, главным образом французских, сложившаяся в 30-х годах нашего столетия. Начало выпуску в свет «Элементов математики» было положено в 1939 г.

Объединение специалистов в различных областях математики в группу Бурбаки произошло на базе концепции математики как формализованного языка. Цель трактата — изложить с этой точки зрения все важнейшие достижения математики, представить математику как единый формализованный язык. И хотя трактат Бурбаки по разным поводам подвергается критике со стороны некоторых математиков, он, несомненно, является важной вехой развития математики по пути ее само осознания.

Популярно концепция Бурбаки изложена в статье «Архитектура математики». Не превращается ли математика в Вавилонскую башню, в скопление изолированных дисциплин — спрашивает автор в начале статьи. Имеем ли мы дело с одной математикой или с несколькими математиками? Ответ на этот вопрос дается такой. Современная аксиоматическая математика — единственный формализованный язык, выражающий абстрактные математические структуры, которые представляют собой не отдельные независимые объекты, а образуют иерархическую систему. Под структурой Бурбаки понимает некоторое число отношений между объектами, обладающих определенными свойствами. Оставляя объекты полностью неопределенными, и формулируя свойства отношений в виде аксиом, а затем, извлекая из них следствия по правилам логического вывода, мы получаем аксиоматическую теорию данной структуры. В переводе на наш язык, структура — это семантика математической модели. Из числа структур можно выделить несколько типов фундаментальных порождающих структур. К ним относятся алгебраические структуры (отражающие свойства композиции объектов), структуры порядка, топологические структуры (свойства, связанные с понятиями окрестности, предела, непрерывности). Кроме наиболее обшей структуры данного типа, т. е. структуры с наименьшим числом аксиом, в каждом типе порождающих структур мы находим структуры, полученные путем включения дополнительных аксиом. Так, в теорию групп входит теория конечных групп, теория абелевых групп, теория конечных абелевых групп. Комбинация порождающих структур дает сложные структуры, как, например, топологическая алгебра. Таким образом, возникает иерархия структур.

Как же используется аксиоматический метод в математическом творчестве? Именно здесь, пишет Бурбаки, аксиоматика больше всего сближается с экспериментальным методом. Следуя Декарту, она «разделяет трудности, чтобы лучше их разрешить». В доказательствах сложной теории она стремится разъединить главные пружины фигурирующих там рассуждений и, взяв их по отдельности, вывести из них следствия (расщепление моделей или структур, о котором мы говорили выше); затем, возвращаясь к исходной теории, она снова комбинирует предварительно выделенные структуры и изучает, как они взаимодействуют между собой.

¹ Энгельс Ф. Диалектика природы. М.: Госполитиздат, 1955. С.165.

² Бурбаки Н. Элементы математики // Очерки по истории математики. М.: Изд-во Иностр. Лит., 1963. С.15.

³ Это мнение и приведенные выше цитаты взяты из книги: Вейль Г. О философии математики. М.;Л., 1934.