Пусть

— подмножество в метрическом пространстве

с метрикой
.
Расстоянием от точки

до множества

называется число
.
Проекцией точки

на множество

называется точка

такая, что

и
.
Утверждение
Пусть для любой точки

проекция

на компакт

существует и определена однозначно. Тогда проекция

непрерывно зависит от
.
Доказательство
По неравенству треугольника
, откуда
.
Аналогично
.
Таким образом, справедливо неравенство
.
Из этого неравенства следует непрерывность метрики

по совокупности аргументов.
Далее покажем, что расстояние

до множества

непрерывно по
.
Для каждого

верно
.
Из этого следует, что
.
Аналогично
.
Следовательно, верно неравенство
, из которого и следует непрерывность расстояния до множества.
Теперь докажем непрерывность проекции в случае, когда

— компакт, а проекция существует и единственная.
Пусть
, 
и
.
Предположим, что последовательность

не сходится к
. Тогда, так как

— компакт, из нее можно выбрать подпоследовательность

такую, что
.
Так как расстояние до множества непрерывно, то
.
С другой стороны, из непрерывности метрики следует
.
Так как по условию проекция единственная, то
. Следовательно,
. Но это противоречит предположению
.