Наверно, правильнее обосновывать это исходя из понятия непрерывность.
По определению, если
, то функция

называется непрерывной в точке
.
Нужно показать, что многочлен

непрерывен в любой точке
.
Конечные сумма и произведение непрерывных в точке

функций непрерывны в точке
. Это следует из соответствующих арифметических свойств предела.
Действительно, если

и
,
тогда

и
.
Утверждение распространяется на произвольное конечное число слагаемых (сомножителей) с помощью индукции.
Функция

непрерывна, что легко доказать по определению. Так как конечное произведение непрерывных функций непрерывно, для любого натурального

непрерывна функция
. При умножении непрерывной функции на константу непрерывность также сохраняется, поэтому непрерывен одночлен
, где

– константа. Многочлен
, в свою очередь, непрерывен как сумма одночленов.