x, y, z

Окружности на клетчатой бумаге

# 18 Апр 2015 09:32:24
Evgeniy

а) Постройте окружность, проходящую ровно через 12 узлов клетчатой бумаги.
б) Постройте окружность, проходящую ровно через 6 узлов клетчатой бумаги.
в) Постройте окружность, проходящую ровно через 5 узлов клетчатой бумаги.
# 8 Сен 2015 13:54:47
lopkityu
а) $x^2+y^2=25$;
б) $\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+y^2=\left( \frac{5}{2} \right)^2$;
в) $\left(x-\frac{1}{3}\right)^2+y^2=\left( \frac{25}{3} \right)^2$.
Для первых двух случаев ответ очевиден. Для третьего уравнение сводится к виду $3x^2-2x+3y^2=208$, где требуемые точки легко можно найти перебором; это будут $(-8; 0), (-2; \pm 8), (7; \pm 5)$.
# 8 Сен 2015 23:00:26
ABC
lopkityu, а можете пояснить, по какому принципу находились уравнения. не понимаю, с чего начать.
# 9 Сен 2015 04:10:35
lopkityu
ABC писал(а):
lopkityu, а можете пояснить, по какому принципу находились уравнения. не понимаю, с чего начать.
Разумеется. Для начала следует заметить, что центр окружности, содержащей 3 и более точек с рациональными координатами, также является рациональной точкой. Доказывается этот факт элементарно, если вспомнить, как ищется центр описанной окружности треугольника. Кстати, аналогичное утверждение для двух точек неверно, попробуйте самостоятельно поискать такие окружности :) Далее я положил радиус такой окружности рациональным (хотя, возможно, это и не принципиально). Тогда отсюда следует, что при подстановке искомых целых точек в уравнение окружности получатся рациональные пифагоровы тройки, что я дальше и использовал. Ну это так, вступление. Теперь по каждому отдельному случаю:
а) Если для наглядности поместить центр окружности в начало координат, то вместе с целой точкой $(a, b)$ таковыми будут и точки $(b, a), (a, -b), (-b, a), (-a, b), (b, -a), (-a, -b), (-b, -a)$. А так как $a, b, c$ - пифагорова тройка, то еще добавятся $(\pm c, 0)$ и $(0, \pm c)$. Итого 12 точек.
б) Здесь, очевидно, нельзя брать целую точку в качестве центра окружности. Но если допустить, что одна ее координата целая, а вторая - рациональная дробь со знаменателем 2, то довольно быстро можно прийти к варианту, подобному моему.
в) А вот тут пришлось чуток подумать. За основу я взял симметрию относительно оси абсцисс. Так как искомое число точек нечетное, то одну из них пришлось расположить на той же оси абсцисс, а остальные разбить на две пары, для чего я подобрал две пифагоровы тройки с равными гипотенузами: $(7, 24, 25)$ и $(15, 20, 25)$, которые фигурируют при подстановке приведенных точек в уравнение.
Возможно, я не очень понятно объяснил, но если Вы нарисуете эти окружности, отметите радиус и всякие расстояния, связанные с этими точками, то легко все увидите :)
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

* Сколько символов на картинке?
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.