| ABC писал(а): |
| lopkityu, а можете пояснить, по какому принципу находились уравнения. не понимаю, с чего начать. |
Разумеется. Для начала следует заметить, что центр окружности, содержащей 3 и более точек с рациональными координатами, также является рациональной точкой. Доказывается этот факт элементарно, если вспомнить, как ищется центр описанной окружности треугольника. Кстати, аналогичное утверждение для двух точек неверно, попробуйте самостоятельно поискать такие окружности :) Далее я положил радиус такой окружности рациональным (хотя, возможно, это и не принципиально). Тогда отсюда следует, что при подстановке искомых целых точек в уравнение окружности получатся рациональные пифагоровы тройки, что я дальше и использовал. Ну это так, вступление. Теперь по каждому отдельному случаю:
а) Если для наглядности поместить центр окружности в начало координат, то вместе с целой точкой
таковыми будут и точки
. А так как
- пифагорова тройка, то еще добавятся
и
. Итого 12 точек.
б) Здесь, очевидно, нельзя брать целую точку в качестве центра окружности. Но если допустить, что одна ее координата целая, а вторая - рациональная дробь со знаменателем 2, то довольно быстро можно прийти к варианту, подобному моему.
в) А вот тут пришлось чуток подумать. За основу я взял симметрию относительно оси абсцисс. Так как искомое число точек нечетное, то одну из них пришлось расположить на той же оси абсцисс, а остальные разбить на две пары, для чего я подобрал две пифагоровы тройки с равными гипотенузами:
и
, которые фигурируют при подстановке приведенных точек в уравнение.
Возможно, я не очень понятно объяснил, но если Вы нарисуете эти окружности, отметите радиус и всякие расстояния, связанные с этими точками, то легко все увидите :)
