Всякое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов.
Целостное кольцо

называется евклидовым кольцом, если определена функция
, называемая евклидовой нормой, удовлетворяющая условиям:
1)
;
2)

такие, что
, причем

либо
.
Например, если положить

для

и

для
, где

— некоторое поле, то

и
![$F[z]$ $F[z]$](/getteximg?F%5Bz%5D)
будут евклидовыми кольцами.
Евклидовость кольца целых чисел

можно обосновать так. Первое свойство евклидовой нормы

следует из свойств произведения натуральных чисел. Возможность представления

следует из архимедовости кольца
. Хотя можно просто сослаться на существование алгоритма деления с остатком.
Аналогично показывается евклидовость кольца
. Свойство
![$\forall f,g \in F[x]\; f,g\ne0\; \deg f \le \deg fg$ $\forall f,g \in F[x]\; f,g\ne0\; \deg f \le \deg fg$](/getteximg?%5Cforall%20f%2Cg%20%5Cin%20F%5Bx%5D%5C%3B%20f%2Cg%5Cne0%5C%3B%20%5Cdeg%20f%20%5Cle%20%5Cdeg%20fg)
следует из аналогичного свойства для
, поскольку действия со степенями происходят в
. Возможность представления

следует из существования алгоритма деления с остатком.
Теперь докажем, что евклидово кольцо является кольцом главных идеалов.
Пусть

идеал евклидова кольца

с евклидовой нормой
. Евклидова норма

принимает натуральные значения либо 0, поэтому она достигает минимума на
. Пусть

— элемент, на котором достигается этот минимум.
Покажем, что всякий элемент

из

имеет вид
. Ввиду евклидовости кольца

всякий

представляется в виде
, где

либо
. Так как
, то
. Но

— элемент, на котором достигается минимум евклидовой нормы в идеале
, поэтому
.