1) —> 2)
Уже показано, что 1) эквивалентно аксиоме индукции, поэтому будем использовать аксиому индукции.
Пусть

– множество всех нижних границ множества
.
Сначала покажем, что
.
Допустим противное:
. Тогда
, что противоречит, например, неравенству
.
Так как
, то
.
Покажем, что
. Допустим противное:
. Тогда по аксиоме индукции
, что, как показано выше, невозможно.
Покажем, что это

есть искомое минимальное число множества
.
Из определения множества

следует, что
.
Остается показать, что
.
Допустим противное:
. Тогда
, то есть
, что противоречит
.
2) —> 1)
Пусть теорема

верна при
, и если верна для
, то также верна для
, то есть

и
.
Пусть

– множество натуральных чисел, для которых данная теорема

не верна, то есть
.
Если теорема

верна не для всех натуральных чисел, тогда
. Поэтому в множестве

найдется наименьший элемент
. При этом
, так как по условию теорема верна при
. Таким образом,
.
Так как

наименьший элемент
, то теорема верна для всех натуральных чисел
, в частности, теорема верна для
. (заметим, что разность

определена, так как
). Но по условию, из того, что теорема

верна для
, следует, что она верна для
. Но
.
Пришли к противоречию. Следовательно,
, то есть теорема верна для всех натуральных чисел.