Как доказать эквивалентность аксиомы индукции и метода математической индукции?

Аксиома индукции утверждает, что любое подмножество натуральных чисел, которое содержит единицу и вместе с каждым своим числом содержит также «следующее» за ним , совпадает с множеством натуральных чисел. (на самом деле , но при аксиоматическом определении натуральных чисел сначала вводится понятие следующий, а уже на его основе определяется операция сложение ).

Формально аксиому индукции можно записать так:

.

Пусть – множество натуральных чисел, для которых данная теорема верна, то есть . По условию индукции, теорема верна для , то есть . По условию индукции, при условии, что теорема верна для , теорема верна для следующего , следовательно, множество вместе с каждым числом содержит следующее , то есть . Из этого следует, что , то есть теорема верна для всех натуральных чисел.

Обратное легко доказать, если положить , то есть теорема заключается в том, что .

Благодарю. А как доказать эквивалентности первого и второго принципа математической индукции?
1) Если какое-нибудь утверждении верно при n=1, и из верности для n следует верность для n+1, то это утверждении верно.
2) Любое непустое подмножество натуральных чисел содержит наименьшей элемент.

1) —> 2)

Уже показано, что 1) эквивалентно аксиоме индукции, поэтому будем использовать аксиому индукции.

Пусть – множество всех нижних границ множества .

Сначала покажем, что .

Допустим противное: . Тогда , что противоречит, например, неравенству .

Так как , то .

Покажем, что . Допустим противное: . Тогда по аксиоме индукции , что, как показано выше, невозможно.

Покажем, что это есть искомое минимальное число множества .

Из определения множества следует, что .

Остается показать, что .

Допустим противное: . Тогда , то есть , что противоречит .

2) —> 1)

Пусть теорема верна при , и если верна для , то также верна для , то есть и .

Пусть – множество натуральных чисел, для которых данная теорема не верна, то есть .

Если теорема верна не для всех натуральных чисел, тогда . Поэтому в множестве найдется наименьший элемент . При этом , так как по условию теорема верна при . Таким образом, .

Так как наименьший элемент , то теорема верна для всех натуральных чисел , в частности, теорема верна для . (заметим, что разность определена, так как ). Но по условию, из того, что теорема верна для , следует, что она верна для . Но .

Пришли к противоречию. Следовательно, , то есть теорема верна для всех натуральных чисел.