| Александр Мезенцев писал(а): |
| Представьте себе, что где-то есть цивилизация в которой математика построена по следующим правилам действия с числами, что при умножении отрицательных чисел получается отрицательное число при умножении двух положительных чисел опять отрицательное число, а при умножении положительного и отрицательного числа получается положительное число. Бред скажите вы и будете отчасти правы. Но данная математика, в которой всё шиворот навыворот ничем не будет хуже нашей. Только там будет всё наоборот. Там можно будет извлечь квадратный корень с отрицательного числа и нельзя извлечь с положительного (придётся вводить комплексные числа как корень из положительного числа), То есть это будет математика симметричная той, которой мы пользуемся. |
| Александр Мезенцев писал(а): |
| Плюс умножить на плюс естественно как и было всегда остаётся плюсом, а вот минус умножить на минус у нас будет минус (а почему бы и нет?) |
В математике есть структура, называемая кольцом. Кольцо — это множество, скажем,
с определенными на нем бинарными операциями, можно условно назвать их сложение
и умножение
. Бинарные — это значит, что каждой паре элементов
, взятых в определенном порядке, ставится в соответствие третий элемент из
, обозначаемый
.
Кроме того выполняются следующие 6 аксиом кольца:
1)
(ассоциативность сложения).
2)
(существование нейтрального элемента, или нуля).
3)
(существование противоположного элемента).
Можно показать, что противоположный элемент единственный для каждого
, поэтому его обозначают
.
4)
(коммутативность сложения).
Эти 4 аксиомы делают множество
относительно операции сложения
коммутативной группой.
Обычно от второй операции умножения
требуется только ассоциативность:
5)
.
Наконец, аксиомы, связывающие две операции
и
:
6)
(левая дистрибутивность).
6')
(правая дистрибутивность).
Теперь можно вводить дополнительные аксиомы.
Если
, то кольцо
называют коммутативным.
Если
, то кольцо
называется кольцом с единицей
.
Например, кольцо целых чисел
является коммутативным кольцом с единицей
.
Если
, то кольцо
называется телом. Элемент
называется обратным для
. Можно показать, что обратный элемент единственный для каждого
, поэтому его обозначают
.
Примером тела может служить
тело кватернионов.
Коммутативное тело называется полем.
Примерами поля служат поле рациональных чисел
, поле
вычетов по простому модулю
, поле рациональных функций
.
Немного исследуем свойства колец.
Покажем, что в любом кольце
.
Умножая равенство
на
, получим
. Здесь воспользовались свойством
и дистрибутивностью.
Далее, прибавим к обеим частям равенства противоположный к
элемент
:
.
Здесь воспользовались свойством противоположного элемента и ассоциативностью.
Аналогично доказывается, что
.
Да, очевидные на первый взгляд свойства доказываются так скрупулезно. Но это обоснованно, ведь есть структуры, в которых не выполняется ассоциативность или дистрибутивность.
Закон знаков следует из аксиом кольца.
Сначала заметим, что
является противоположным для
, поэтому
.
Теперь покажем, что
.
Для этого достаточно показать, что
является противоположным для
. Действительно
. Здесь мы воспользовались дистрибутивностью.
Аналогично доказывается, что
.
Из двух предыдущих утверждений следует, что
. Действительно,
.
| Александр Мезенцев писал(а): |
Плюс умножить на плюс естественно как и было всегда остаётся плюсом, а вот минус умножить на минус у нас будет минус ( а почему бы и нет?)
...
Итак плюс на плюс будет плюс  , минус на минус будет минус  , плюс на минус будет минус  , и минус на плюс будет плюс  |
Предполагая наличие дистрибутивности, получим противоречие, например такое
.
Не будет коммутативности, как Вы уже сами заметили, но не будет и дистрибутивности, как следствие, операции
и
потеряют связь. До погружения натуральных чисел в вашу структуру с формальными
никаких проблем не будет, то есть с положительными числами в вашей структуре проблем не будет, дистрибутивность не нарушится. При формальном введении
правила знаков, вероятно, могут быть перенесены и на q-ичное представления чисел, но дистрибутивность уже нарушится. Но далее без кольцевых операций не получится погрузить структуру в поле, ввести расположение и порядок, следовательно, не будет понятия предела, поэтому вы не имеете права говорить о показательных и логарифмических функциях, которые определяются через него.
Напомню, что натуральные числа строятся из аксиом Пеано. Сначала индуктивно определяются операции сложения и умножения, которые обладают свойствами коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности, далее вводится отношение порядка
и понятие разности чисел
при
.
Кольцо целых чисел определяется как минимальное кольцо, содержащее множество натуральных чисел (подразумевается, что кольцевые операции сложения совпадают со сложением натуральных чисел). Показывается, что кольцо может быть расположено единственным образом, причем порядок порожденный расположением совпадает с порядков натуральных чисел.
Кольцо
называется расположенным, если в нем можно выделить множество "положительных" элементов
таких, что:
1)
. Здесь и далее
— исключающее или.
2)
.
3)
.
Расположение порождает порядок в
, если по определению положить
тогда и только тогда, когда
.
Говорят, что в кольце
определен порядок, если:
1)
.
2)
.
Поле рациональных чисел определятся как минимальное поле, содержащее кольцо целых чисел. Показывается, что это может быть расположено единственным образом, причем порядок порожденный расположением совпадает с порядком целых чисел.
Поле действительных чисел определятся как минимальное полное архимедово расположенное поле, содержащее поле рациональных чисел. Поле называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательности имеет предел.
