Интуиция подсказывает, что основные структуры в математике должны быть исключительными и математически красивыми. В математике повсюду встречаются группы и кольца, а также их частные случай и расширения — поля, линейные пространства, алгебры. Но почему именно эти структуры? Чем уникальны наборы аксиом группы и кольца? .

Самая основная структура в математике — это множество. Трудно найти что-то более фундаментальное. Группа естественным образом появляется как семейство биекций множества в себя с операцией композиция, определенной так , где . И обратно, всякая группа является множеством биекций некоторого множества в себя. Можно заметить, что биекции сохраняют мощность множества. Можно сказать, что группа — это семейство преобразований множества, которое сохраняет его основное структурное свойство — мощность.

В свою очередь, всякое кольцо является кольцом эндоморфизмов (гомоморфизмов в себя) некоторой коммутативной (абелевой) группы . А именно, кольцевое произведение — это композиция эндоморфизмов группы , где , а кольцевое сложение — сумма эндоморфизмов , где . Можно проверить, что множество эндоморфизмов с такими операциями удовлетворяет аксиомам кольца. Можно сказать, что кольцо — это семейство преобразований группы, которое сохраняет основное структурное свойство группы — ее операцию.

Можно спросить, почему рассматривают автоморфизмы только коммутативной группы. Дело в том, что если группа не коммутативная, то сумма эндоморфизмов не всегда является эндоморфизмом.

Таким образом, каждая следующая структура возникает как семейство преобразований предыдущей, которые сохраняют ее основные структурные свойства.