Определение
Число

называется верхней границей множества
, если любое число

не превосходит
. Иными словами,

— верхняя граница множества
, если
.
Множество называется ограниченным сверху, если оно имеет хотя бы одну верхнюю границу.
Если множество ограничено сверху, то его минимальная верхняя граница

называется точной верхней границей, или супремумом, и обозначается
.
Минимальность верхней границы

означает, что ее нельзя уменьшить. Если мы уменьшим супремум

на любое небольшое
, то число

уже не будет верхней границей для множества
, то есть найдется число
, для которого

уже не является верхней границей, то есть будет верно неравенство
.
Определение супремума в формальной записи:
, если
1)

— верхняя граница
, то есть
;
2)

— минимальная верхняя граница
, то есть
.
Аналогично определяется нижняя граница и точная нижняя граница как максимум всех нижних границ.
Число

называется нижней границей множества
, если любое число

не меньше
. Иными словами,

— нижняя граница
, если
.
Множество называется ограниченным снизу, если оно имеет хотя бы одну нижнюю границу.
Если множество ограничено снизу, то его максимальная нижняя граница

называется точной нижней границей, или инфимумом, и обозначается
.
Определение инфимума в формальной записи:
, если
1)

— нижняя граница
, то есть
;
2)

— максимальная нижняя граница
, то есть
.
Свойства
Лемма 1.
, где

и
.
Доказательство.
Так как

и
, то
, а значит, число

является нижней границей для множества
.
Покажем, что эта граница точная. Возьмем произвольное
. По определению инфимума

и
, а значит,
. Следовательно,
, то есть число

является точной нижней границей множества
.
Лемма 2.
.
Доказательство.
Так как
, то
.
Так как

и
, то
, а следовательно

есть верхняя граница множества
.
Покажем, что эта граница точная. Возьмем произвольное
. По определению супремума и инфимума

и
, а значит,
. Следовательно,
, то есть число

является точной верхней границей множества
.