То, что площадь криволинейной трапеции равна
, следует из определения площади и определения интеграла.
Отрезок
![$[a;b]$ $[a;b]$](/getteximg?%5Ba%3Bb%5D)
разбивается на отрезки точками
. Площадь криволинейной трапеции приближенно заменяем на суммарную площадь прямоугольников с небольшими основаниями
![$\Delta x_i = [x_{i-1};\ x_i]$ $\Delta x_i = [x_{i-1};\ x_i]$](/getteximg?%5CDelta%20x_i%20%3D%20%5Bx_%7Bi-1%7D%3B%5C%20x_i%5D)
и высотой
, где
.
Предел
,
если существует, называется интегралом и обозначается
.
Как интеграл связан с первообразной? Если нестрого рассуждать, можно так обосновать. Пусть

— площадь криволинейной трапеции на отрезке от

до
. Ее производная в точке x по определению равна пределу
.
Геометрически

равна площади узкого кусочка трапеции с основанием
![$[x; x+h]$ $[x; x+h]$](/getteximg?%5Bx%3B%20x%2Bh%5D)
длины
. При

площадь этой трапеции стремится к площади прямоугольника с тем же основанием и выстой
. При делении площади на
, получаем высоту, т.е.
. Это и значит, что
.
Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции
, на отрезке от

до

равна некоторой первообразной

функции функции
.
Напомню, что функция

называется первообразной функции
, если
. Первообразная функции

обозначается
, то есть это неопределенный интеграл. При любой константе
, если
, то и
, поэтому первообразная находится с точностью до константы.
Так как

и
, то имеем
.