К пункту 1). Всего есть 12 двузначных удачных чисел. Среди них по одному числу, заканчивающемуся на 1, 2, 4, 6, 7, 8, и по два числа, заканчивающихся на 3, 5, 9.

К пунктам 2), 3) и 4). Утверждения о бесконечных последовательностях натуральных чисел обычно доказывают методом математической индукции. Хотя можно попробовать обойтись и без индукции...

К пункту 5). Можно сначала убедиться, что число V − U должно быть удачным и при этом заканчивается на 7. По формуле бинома (V − U)⁵ = V⁵ − UV(5V³ − 10V²U + 10VU² − 5U³) − U⁵, а так как из пункта 3) следует, что UV = 0, то (V − U)⁵ = V⁵ − U⁵.

Это равенство, разумеется, нужно «расшифровать»: пятая степень V − U заканчивается на те же n цифр, что и разность пятых степеней V и U. А поскольку U и V удачные, то их пятые степени заканчиваются на U и V соответственно, поэтому их разность заканчивается на цифры числа V − U. Это и докажет, что V − U удачное число. Его последняя цифра, очевидно, совпадет с последней цифрой 2 − 5, то есть 7. Точно так же исследуется и число V + U. После этого остается только доказать, что удачных чисел, заканчивающихся на 7, всего два: одно из них (...7057) заканчивается на 57, а другое (...5807) — на 07.

В решении будет показан более универсальный подход.

Ответами на пункт 1) являются числа 24, 25, 32, 43, 49, 51, 57, 68, 75, 76, 93, 99.

Для решения пунктов 2)–4) сначала сделаем несколько предварительных замечаний.

Употребляя слова «10-адическое число» вместо «последовательность чисел, каждое следующее из которых получается приписыванием одной цифры слева к предыдущему», мы используем чисто словесный трюк для экономии места и времени. Мы можем постоянно держать в уме, что это «не настоящие» числа, а такие последовательности. Так как при этом нас интересуют только последние цифры 10-адических чисел, то можно считать, что мы просто выполняем все арифметические действия по модулю 10ⁿ. Этот модуль является составным числом, поэтому нас не должно удивлять, что бывают не делящиеся на 10n (математики говорят «отличные от нуля») множители, произведение которых делится на 10ⁿ («равно 0»). Ведь не удивляет же нас, что произведение 2 и 5 заканчивается нулем, хотя ни 2, ни 5 нулем не заканчиваются (математики говорят, что 2 и 5 являются делителями 0 по модулю 10).

Это свойство числа 10 заставляет нас очень внимательно подойти к решению 10-адического уравнения x⁵ = x. Покажем возникающие трудности на примере уравнения x² = x. Разумеется, оно эквивалентно уравнению x(x − 1) = 0. Почему мы не можем отсюда делать стандартный вывод «x = 0 или x = 1»? Потому что по модулю 10 (и любой степени числа 10) вполне может возникнуть ситуация, когда два ненулевых числа дают в произведении 0. В самом деле, годится, например, такое x, которое делится на n-ю степень 5, если одновременно при этом x − 1 делится на n-ю степень 2. Или наоборот, x делится на нужную степень двойки, а x − 1 — на такую же степень пятерки. А вот одновременно делиться и на 2, и на 5 никакое из ненулевых чисел x, x − 1 не может, так как тогда другое число не делится ни на 2, ни на 5, а это значит, что первое число должно делиться на нужную степень и двойки, и пятерки, то есть заканчиваться на n нулей (быть равным 0).

Иначе говоря, в 2-адических и 5-адических числах уравнение имеет ровно два решения: x = 0 и x = 1, потому что при делимости на простое число p хотя бы один из сомножителей должен делиться на p. А значит, в 10-адических числах у этого уравнения возможны всего 4 решения, соответствующие комбинации вариантов (0, 0), (1, 1), (0, 1), (1, 0) по модулям 2 и 5. Первые два решения — это числа 0 и 1, третье мы выше назвали U, а четвертое — 1 − U.

Не правда ли, это очень естественно и, не побоюсь этого слова, красиво?

Давайте немного внимательнее разберемся с тем, что мы сейчас сделали. Каждое 10-адическое число X соответствует паре из 2-адического и 5-адического чисел X₂ и X₅. Это соответствие можно описать буквально: последние n цифр двоичной записи в 2-адическом числе X₂ — это остаток от деления X (или числа из его n последних цифр) на 2ⁿ; аналогично определяется и X₅. И обратно, из любой пары (X₂, X₅) всегда получается какое-то одно 10-адическое число X.

Так как сложение и умножение по модулю 2 и по модулю 5 независимы друг от друга, то введенное нами соответствие должно сохраняться при операциях сложения и умножения. Если мы рассмотрим два 10-адических числа X и Y, при этом X соответствует паре (X₂, X₅), а Y соответствует паре (Y₂, Y₅), то число X + Y будет соответствовать паре (X₂ + Y₂, X₅ + Y₅), а число XY — паре (X₂Y₂, X₅Y₅). В этом нет ничего магического и мистического. По крайней мере, магии и мистики тут не больше, чем при сложении и умножении многозначных чисел столбиком ;-)

Теперь мы готовы к тому, чтобы применить тот же подход для решения уравнения X⁵ = X, или X(X − 1)(X + 1)(X² + 1) = 0. В p-адических числах его решениями будут 0, 1, −1, а также два решения уравнения X² + 1 = 0. В 2-адических числах у последнего уравнения решений нет (для доказательства этого достаточно убедиться, что квадраты нечетных чисел не могут давать остаток −1 при делении на 4, то есть посмотреть на предпоследнюю двоичную цифру числа X²), а в 5-адических числах таких решений два. Обозначим T то из них, которое заканчивается на 2, тогда другое будет заканчиваться на 3 и окажется равным −T (а других решений быть не может из-за отсутствия делителей нуля в 5-адических числах).

Комбинируя три 2-адических решения с пятью 5-адическими, несложно получить 15 решений в 10-адических числах. То, которое мы в условии задачи обозначили буквой V, заканчивается на 2, то есть дает остаток 2 при делении на 5 и является четным — то есть это решение (0, T). Эту и другие комбинации сведем в табличку, опираясь на то, что значение (X₂, X₅) равно (X₂, 0) + (0, X₅). Иначе говоря, вся табличка достаточно быстро заполняется сразу после того, как заполнены строка и столбец, соответствующие 2- и 5-адическим нулям.

X2 / X5	0	1	−1	T	−T
0	0	1 − U	U − 1	V	−V
1	U	1	2U − 1	U + V	U − V
−1	−U	1 − 2U	−1	−U + V	−U − V

Пункт 2) тем самым полностью решен. Проверка утверждений пунктов 3) и 4) делается почти автоматически. Действительно,

U − (1 − U) = 2U − 1 = (1, −1);
UV = (1, 0)×(0, T) = (0, 0) = 0;
1 + V² = (1, 1) + (0, T)×(0, T) = (1, 1) + (0, T²) = (1 + 0, 1 + T²) = (1, 0) = U.

Осталось разобраться с пунктом 5). 10-адические удачные числа, заканчивающиеся на 7, должны быть равны (1, T) и (−1, T), потому что они имеют остаток 1 по модулю 2 и остаток 2 по модулю 5, значит (см. таблицу), одно из них равно U + V, а другое равно −U + V.

Таким образом, все 10-адические решения уравнения можно выразить через 1, V и V²: ими будут 0, ±1, ±V, ±V², ±(1 + V²), ±(1 + V + V²), ±(1 − V + V²), ±(1 + 2V²).

Прежде чем читать послесловие, проверьте себя на следующем упражнении. Как вы думаете, почему двузначных решений всего 12, в то время как мы показали существование пятнадцати 10-адических решений? Иными словами, куда потерялись еще три? С двумя несложно — это 0 и 1, у которых нет «двузначных» представителей, точнее, они совпадают с однозначными. А где еще одно?

Ответ на упражнение, приведенное в конце решения: еще одно решение «потерялось», потому что соответствующее ему 10-адическое число заканчивается на 07.

В решении мы совсем обошли вопрос о том, чему же равно число, обозначенное нами T. А ведь это число очень интересно само по себе — это решение уравнения x² + 1 = 0, то есть «мнимая единица». Ну и что, что мы решаем это уравнение не в обычных числах, а в 5-адических? Тем интереснее результат...

Давайте решим с нуля именно это уравнение. Его решением будет последовательность цифр T = t₀ + t₁·5 + t₂·5² + ... + t_n·5ⁿ + ..., где все цифры t_i — от 0 до 4. Как мы договорились еще в решении, первая цифра t₀ равна 2. Теперь постараемся найти вторую цифру t₁. Для этого возведем T в квадрат, опуская все, что будет делиться на 5² или большую степень 5. Получим 1 + T² = 1 + (2 + 5t₁)² = 1 + 4 + 20t₁ = 5(1 + 4t₁). Мы хотим, чтобы все выражение заканчивалось на 00, а для этого нужно, чтобы выражение в скобке делилось на 5. Ясно, что для этого нужно взять t₁ = 1. Теперь мы можем начать с равенства T = 2 + 1×5 + t₂·5² и определить с помощью возведения в квадрат третью цифру: 1 + (7 + t₂·5²)² = 25·(2 + 14t²). Итого мы решаем сравнение 2 + 4t₂ = 0, и находим из него t₂ = 2.

Продолжая таким образом, получаем T = ...24312125. (нижний индекс здесь означает, что мы выписали число в пятеричной системе счисления). Эти и последующие цифры можно найти в справочнике целочисленных последовательностей как последовательность A210850. Другое 5-адическое решение уравнения X² + 1 = 0, которое мы обозначали −T, очевидно (кстати, полезно обдумать, почему это действительно очевидно?) равно ...2013233₅ и находится в соседней последовательности справочника A210851. Там же приведены еще несколько ссылок на связанные с ними другие числовые последовательности.

Числа V и 2U − 1, которым посвящены два пункта нашей задачи, безусловно, тоже представлены в виде последовательностей: их номера — A120817 и A091661 (последнее называется 10-адическим корнем из 1). Там же есть ссылки и на остальные 10-адические решения нашего уравнения.

Исторически p-адические числа впервые появились в работе немецкого математика Курта Гензеля в 1897 году. Википедия характеризует их как «необычные, но оказавшиеся чрезвычайно полезными». Строго говоря, мы в решении задачи использовали только целые p-адические числа, в то время как большая часть их применений связана с рациональными p-адическими числами и нестандартным понятием расстояния (метрики), которая возникает при этом. Современные применения — в теоретической физике, в частности, в квантовой механике и теории струн, а также в алгоритмах обработки и сжатия изображений.

Введению в p-адические числа был посвящен курс из четырех лекций К. Конрада на летней школе «Современная математика» 2014 года в Дубне. Несколько интересных свойств 2-адических чисел разбирались в статье Б. Беккера, Ю. Ионина и С. Востокова «2-адические числа» в журнале «Квант». В частности, там с их помощью доказывалось утверждение о том, что квадрат невозможно разрезать на нечетное число треугольников одинаковой площади.

Более сложными для начинающего читателя являются книги «p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функция» (Н. Коблиц, 1983) и «p-адический анализ в сравнении с вещественным» (С. Б. Каток, 2004,).

Один из читателей написал мне, что утверждение пятого пункта задачи ошибочно и, скорее всего, таких серий бесконечно много. В подтверждение своих слов он привел числа 2057 и 4557. Я на некоторое время задумался, а потом запустил перебор на компьютере. Компьютер выдал сначала четыре трехзначных числа, заканчивающихся на 7 (057, 307, 557, 807), а потом восемь четырехзначных (0807, 2057, 3307, 4557, 5807, 7057, 8307, 9557). Конечно, оба известных мне 10-адических решения здесь есть, но и оба числа, названные читателем, в этот список попали. Я задумался еще сильнее. Пятизначных решений с семеркой на конце снова оказалось 8: каждое из 10-адических «раздвоилось», дав варианты 27057 и 77057, 45807 и 95807, а также раздвоились еще два решения, в том числе одно из найденных читателем: 20807, 70807, 02057, 52057. Остальные четыре четырехзначных решения не оставили «потомства», потому что при любом выборе пятой цифры не заканчивались на те же пять цифр.

А дальше... все кончилось. Оба числа, «выросших» из 2057, не оставляют шестизначного «потомства», то же самое можно сказать о числах, «выросших» из 0807. Ровно та же судьба у решений, отклоняющихся от найденных ранее 10-адических в пятом знаке. Например, 27057 поначалу раздваивается на 327057 и 827057 (то, что разность старших цифр у двух «потомков» всегда равна 5, не случайно, и несложно доказывается алгеброй), а дальше оба этих потомка оказываются «бесплодными» — попытка добавить к ним одну цифру слева приводит к противоречию с делимостью на степень 10.

Иначе говоря, пятый пункт верен, а утверждение читателя относительно ее ошибочности — неверно. Верный факт состоит в том, что среди многозначных чисел действительно встречаются не только найденные нами бесконечные (10-адические) цепочки, но и такие цепочки, которые начинают от них отклоняться (на 5) в старшем разряде. Каждый такой «боковой отросток» дает еще двух потомков среди чисел, имеющих на один десятичный знак больше, и на этом его цепочка обрывается. Таким образом, начиная с четырехзначных, всегда будет не более 8 различных n-значных чисел для каждого n — два «бесконечных» 10-адических, еще два, отличающихся от них в старшем разряде, и еще четыре, отличающихся от них в двух старших разрядах. «Не более» здесь написано потому, что некоторые из этих восьми решений могут начинаться с нуля и, следовательно, фактически иметь меньшее число цифр. Например, для 6 знаков решениями являются:

045807,
077057,
295807,
327057,
545807,
577057,
795807,
827057.

Разумеется, без строгого доказательства это утверждение ничем не лучше предположения читателя, но все-таки одно существенное отличие между ними есть: наше утверждение верно, и его можно доказать, а утверждение читателя неверно. Кстати, примерно то же самое справедливо для чисел с другими окончаниями — всего n-значных чисел для каждого n около 40, однако 10-адических («бесконечных») из них всего 13.

Полный список решений уравнения x⁵ = x можно посмотреть в последовательности A068407.