Найдет ли Трубадур принцессу в 17-комнатах?

Сообщения: 1 🔎

# 25 Мар 2017 00:05:39
Evgeniy

Принцесса живёт в 17-комнатном дворце, который представляет собой прямоугольник 1×17. Каждая комната дворца — спальня принцессы. Соседние спальни сообщаются между собой, а кроме того, каждая спальня имеет окно. Если в окно спальни, где сейчас ночует принцесса, ровно в полночь постучится трубадур, то принцесса сбежит с ним, они поженятся и будут жить долго и счастливо. Однако король против, и бдительная стража заставляет принцессу каждый день ночевать в другой спальне — соседней с той, где она ночевала перед этим (причём, в какой именно, выбирают стражники, а не принцесса). Сможет ли трубадур достучаться до принцессы, если у него в запасе всего месяц?

[−] Решение

Для дворца из трех комнат решение совсем простое (рис. 1): трубадуру достаточно две ночи подряд стучаться в спальню номер 2.

Рис. 1. План трехкомнатного дворца.

Для дворца из четырех комнат (рис. 2) решение тоже придумывается довольно быстро. Сначала трубадур стучится в спальню 2, а на следующую ночь — в спальню 3. Если сначала принцесса была в спальне 2, то она будет обнаружена в первую же ночь, а если в спальне номер 4, то — во вторую. Если после двух ночей она еще не обнаружена, то это означает, что она спала в первую ночь в одной из спален 1 или 3, а во вторую ночь — в одной из спален 2 или 4. Чтобы исключить последний случай, трубадуру нужно (на третью ночь) еще раз постучаться в спальню 3. Если принцессы там нет, значит она была в спальне 2, а теперь перебралась в спальню 1. Но тогда следующей ночью она обязательно окажется в спальне 2! Трубадур стучится туда — и всё.

Рис. 2. План четырехкомнатного дворца

Вместо всех этих объяснений мы могли бы просто сказать, что он делает последовательность ходов 2, 3, 3, 2.

Теперь переходим к решению основной задачи (рис. 3). Для нее последовательность ходов трубадура: 2, 3, 4, ..., 15, 16, 16, 15, 14, ..., 3, 2. Несложно убедиться, что это займет у него как раз 30 ночей (в худшем случае).

Рис. 3. План 17-комнатного дворца.

Докажем, что после этой серии ходов принцесса обязательно будет обнаружена. Действительно, если принцесса в первую ночь была в спальне с чётным номером и трубадур её не нашел сразу же, то она находилась правее второй спальни. С каждым из первых 14 ходов трубадур «перемещался» на одну комнату вправо. При этом, очевидно, каждую ночь он стучался в спальню с той же чётностью, что и та, в которой в этот момент ночевала принцесса. Значит, они не могли разминуться и принцесса не могла оказаться левее него. Таким образом, если после 15 ночей принцесса не была обнаружена, то она не могла в первую ночь быть в спальне с чётным номером. То есть трубадур теперь точно знает, что принцесса ночевала в первую ночь в спальне с нечётным номером, и следовательно, 15-ю ночь она провела также в спальне с нечетным номером. При этом сам он только что проверил чётную спальню №16. Значит, ему нужно поменять чётность — еще раз проверить эту же спальню — и только после этого начать смещаться влево. Поскольку уже известно, что принцесса слева от него и в спальне с той же чётностью, то в какую-то из следующих 15 ночей она будет непременно обнаружена.

[−] Послесловие

Эта несложная головоломка — замечательная иллюстрация к очень интересной и многогранной математической проблеме: задаче гарантированного поиска. Стандартная общая формулировка задачи гарантированного поиска такова: несколько полицейских пытаются сообща «вслепую» поймать одного преступника. Преступник считается пойманным, если хотя бы один из полицейских приблизился к нему на некоторое заданное расстояние ε. Цель полицейских — поймать преступника за наименьшее возможное время, цель преступника — максимально оттянуть момент своей поимки. Обычно считается, что преступник полностью осведомлён о стратегии, которой пользуются полицейские, чтобы его поймать. В конкретных задачах считаются известными и та область, в которой прячется преступник, и те правила, по которым он перемещается внутри области. В частности, как и в нашей задаче, эта область может быть графом, в котором преступник может перемещаться только в соседние (связанные ребром) вершины.

Впервые подобные задачи были сформулированы в монографии известного американского математика Руфуса Айзекса «Дифференциальные игры» (1965, русский перевод 1967). В частности, в эту монографию вошел анализ игры «Шофёр-убийца» (Homicidal chauffeur problem), в которой медленный, но весьма манёвренный пешеход стремится увернуться от быстрого, но слабо манёвренного шофёра. Позднее Айзекс признавался, что под «пешеходом» он подразумевал военный корабль, а под «шофёром» — управляемую торпеду. Дискретный вариант этой задачи был включён Мартином Гарднером в книгу Mathematical Carnival (1975, в русском переводе — «Нескучная математика. Калейдоскоп головоломок»). Не могу отказать себе в удовольствии процитировать условие задачи из книги Гарднера:

Вообразите город неопределенных размеров, с улицами, которые образуют правильную квадратную сетку. На одном из перекрестков находится полицейский автомобиль. На другом — автомобиль злоумышленников. Полицейский автомобиль движется в два раза быстрее этого автомобиля, но тормозится тем, что ему необходимо соблюдать правила уличного движения. Эти правила запрещают левые повороты и повороты назад, так что он может двигаться только прямо вперед или поворачивать направо на каждом перекрестке. Автомобиль же преступников пренебрегает правилами, так что на каждом перекрестке может поворачивать на все четыре стороны.

Для квантованной игры перекрестки заменены квадратами бесконечной шахматной доски. Полицейский автомобиль представлен фишкой с нарисованной на ней стрелкой, которая указывает направление движения автомобиля. Автомобиль преступников представлен другой фишкой. Игроки ходят по очереди, причем начинает игру полицейский автомобиль. Все ходы подобны ходам ладьи при игре в шахматы: вверх, вниз, вправо или влево, но не по диагонали. Автомобиль преступников за один ход передвигается на один квадрат. Полицейский автомобиль передвигается за один ход на два квадрата, но только по прямой линии, либо в том направлении, в котором двигался, либо после правого поворота. (Он не может передвинуться на один квадрат, затем повернуть направо и передвинуться на другой квадрат.) Полицейские «поймают» преступников, если их автомобиль окажется в том квадрате, где находится преследуемый автомобиль, или в соседнем квадрате в прямом или диагональном направлении. [...] В каких квадратах должен находиться полицейский автомобиль в начале игры, чтобы одержать победу? [...] Айзекс показывает, что вокруг первоначального квадрата полицейского автомобиля есть асимметричная область из 69 квадратов, каждый из которых является роковым для преступников. Если же они стартуют в любом квадрате, расположенном вне этой области, то могут (при условии, что игровое поле не ограничено) всегда избежать захвата.

Если вы попробуете самостоятельно проанализировать дискретный вариант «шофёра-убийцы», то очень быстро поймёте, в чём заключается основная трудность.

Однако наша задача ближе к другой игре, также разобранной Айзексом, — «Принцесса и монстр» (Princess and monster game). Её исходная версия была решена израильтянином Шмуэлем Галом только в самом конце 1970-х годов (почти через 15 лет после выхода книги Айзекса), а дискретная модификация — в 1972 году советским математиком Михаилом Зеликиным (сейчас он член-корреспондент РАН).

Этот рассказ был бы неполон без упоминания еще нескольких соавторов данного сюжета и нескольких его вариаций. В 1999 году Александр Шаповалов, сочиняя задания для математического соревнования школьников, придумал такие вариации:

1. На бесконечной шахматной доске есть две белые ладьи и невидимый черный король. Ходят по очереди. Докажите, что белые смогут наверняка за конечное число ходов поставить шах.

2. Отстрел робота. Ряд окопов тянется в обе стороны до бесконечности, и в одном из них спрятался робот-пехотинец. Автоматическая пушка может одним выстрелом накрыть любые два окопа (не обязательно соседние). Пока пушка перезаряжается, робот (если уцелел) обязательно перебегает незаметно в соседний окоп (быть может, только что обстрелянный).
а) Известно, что в данный момент робот сидит в одном из 1000 расположенных подряд окопов. Как может пушка его накрыть не позднее 1500 выстрела?
б) Одним выстрелом пушка может накрыть k окопов, и где сейчас робот — неизвестно. При каком наименьшем k пушка сможет стрелять так, чтобы наверняка накрыть робота?

Полностью эта задача использована не была, но самый интересный пункт «сыграл» в такой формулировке (А. Шаповалов, В. Шорин):

В одном из 1000 окопов, расположенных в ряд, спрятался робот-пехотинец. Автоматическая пушка может одним выстрелом накрыть любой окоп. В каждом промежутке между выстрелами робот (если уцелел) обязательно перебегает в соседний окоп (быть может, только что обстрелянный). Сможет ли пушка наверняка накрыть робота?

Собственно, это и есть задача о трубадуре и принцессе, с той лишь разницей, что мы ограничивали принца во времени, а здесь спрашивалась лишь принципиальная возможность обнаружения. А спустя год уже с другим соавтором — Александром Спиваком — Шаповалов сформулировал для тех же пехотинца и пушки (узнаёте ли вы здесь катер и торпеду, подразумевавшиеся Айзенком?) задачу для произвольного графа.

Рис. 4

Система укреплений состоит из блиндажей (рис. 4). Некоторые из блиндажей соединены траншеями, причём из любого блиндажа можно перебежать в какой-нибудь другой. В одном из блиндажей спрятался пехотинец. Пушка может одним выстрелом накрыть любой блиндаж. В каждом промежутке между выстрелами пехотинец обязательно перебегает по одной из траншей в соседний блиндаж (даже если по соседнему блиндажу только что стреляла пушка, пехотинец может туда перебежать). Назовём систему надёжной, если у пушки нет гарантированной стратегии поражения пехотинца (т. е. такой последовательности выстрелов, благодаря которой пушка поразит пехотинца независимо от его начального местонахождения и последующих передвижений).
а) Докажите, что система укреплений, изображённая на рис. 4, надёжна.
б) Найдите все надёжные системы укреплений, которые перестают быть надёжными после разрушения любой из траншей.

В этой формулировке задача и была предложена на Московской математической олимпиаде в 2000 году.

А дальше — самое загадочное и удивительное: совершив долгое путешествие из научной монографии через «развлекательную» книжку Гарднера в олимпиадную задачу, этот сюжет затем проделал столь же небыстрый обратный путь: сначала (в 2010 году) попал в замечательную подборку «Математические головоломки к обеду» (“Math puzzles for dinner”) — именно там вместо мрачных пушки и блиндажей появился герой-спаситель и 17-комнатный дворец принцессы, — а оттуда (уже в 2012 году) — в научную статью John R. Britnell, Mark Wildon. Finding a princess in a palace: A pursuit-evasion problem. Авторы этой статьи, по-видимому, совсем ничего не знали об олимпиадной задаче Шаповалова и Спивака, но сумели ее «переоткрыть» и заново решить, а также «опознать» в этой игре наследницу дифференциальных игр Айзекса. Что лишний раз напоминает: математика — не застывшее изваяние, созданное древними греками, а живая и постоянно развивающаяся наука.

Цитировать

Сообщения: 1 🔎


*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted] formulas > Формат Шрифт $\mathit{}$ $\mathbf{}$ $\mathrm{}$ $\mathsf{}$ $\mathfrak{}$ $\mathbb{}$ $\mathcal{}$ $\mathscr{}$ Размер $\tiny Aa$ $\scriptsize Aa$ $\footnotesize Aa$ $\small Aa$ $\normalsize Aa$ $\large Aa$ $\Large Aa$ $\LARGE Aa$ $\huge Aa$ $\Huge Aa$ Цвет ${\color{Red} }$ ${\color{DarkRed} }$ ${\color{BrickRed} }$ ${\color{Magenta} }$ ${\color{VioletRed} }$ ${\color{Yellow} }$ ${\color{Orange} }$ ${\color{DarkOrange} }$ ${\color{Brown} }$ ${\color{Sepia} }$ ${\color{Green} }$ ${\color{DarkGreen} }$ ${\color{ForestGreen} }$ ${\color{Teal} }$ ${\color{Emerald} }$ ${\color{Blue} }$ ${\color{DarkBlue} }$ ${\color{RoyalBlue} }$ ${\color{BlueViolet} }$ ${\color{Purple} }$ ${\color{Gray} }$ ${\color{Plum} }$ ${\color{Cyan} }$ Стиль \text{} $\tstyle$ $\dstyle$ Дроби, корни $\frac{}{}$ $\tfrac{}{}$ $\dfrac{}{}$ $\cfrac{}{}$ $\over$ $\atop$ $\sqrt{}$ $\sqrt[]{}$ $\binom{}{}$ $\tbinom{}{}$ Скобки $()$ $\{\}$ $[]$ $\|\|$ $\\|\\|$ $\langle \rangle$ $\left( \right)$ $\left\{ \right\}$ $\left[ \right]$ $\left\| \right\|$ $\left\\| \right\\|$ $\left\langle \right\rangle$ $\left( \right.$ $\left. \right)$ $\left\{ \right.$ $\left. \right\}$ $\left[ \right.;$ $\left. \right]$ $\left\| \right.;$ $\left. \right\|$ Декор., индексы $^{}$ $_{}$ $^{}_{}$ ${}^{}$ ${}_{}$ ${}^{}_{}$ $\leftidx{}{}{}$ $\ltrans{}$ $\vec{}$ $\bar{}$ $\tilde{}$ $\hat{}$ $\dot{}$ $\ddot{}$ $\dddot{}$ $^{\circ}$ $\overset{\circ}{}$ $\overset{\frown}{}$ $\overrightarrow{}$ $\overleftarrow{}$ $\overline{}$ $\underline{}$ $\widetilde{}$ $\widehat{}$ $\overbrace{}^{}$ $\underbrace{}_{}$ $\overset{}{}$ $\underset{}{}$ $\left. \right\|_{}^{}$ $\left. \right\|_{}$ $\not{}$ $\cancel{}$ $\bcancel{}$ $\xcancel{}$ Пробелы, разд. $\!$ $x y$ $\,$ $\;$ $\$ $\quad$ $\qquad$ $\cdot$ $\dots$ $\cdots$ $\ddots$ $\vdots$ $\colon$ $\mid$ \phantom{} \mathstrut{} Квант., операц. $\forall$ $\exists$ $\exists!$ $\nexists$ $\lnot$ $\land$ $\lor$ $\cup$ $\cap$ $\sqcup$ $\sqcap$ $\setminus$ $\bigtriangleup$ $\uplus$ $\cdot$ $\circ$ $\times$ $\pm$ $\mp$ $\dotplus$ $\div$ $/$ $\neg$ $\wedge$ $\vee$ $\barwedge$ $\veebar$ $\curlywedge$ $\curlyvee$ $\textasciicircum$ $\oplus$ $\ominus$ $\otimes$ $\oslash$ $\odot$ $\circledcirc$ $\circledast$ Отношения $\in$ $\notin$ $\ni$ $\not\ni$ $\subset$ $\supset$ $\not\subset$ $\not\supset$ $\subseteq$ $\supseteq$ $\nsubseteq$ $\nsupseteq$ $\subsetneq$ $\supsetneq$ $\subsetneqq$ $\supsetneqq$ $\neq$ $\approx$ $\equiv$ $\not\equiv$ $\sim$ $\nsim$ $\cong$ $\ncong$ $\leqslant$ $\geqslant$ $\nleqslant$ $\ngeqslant$ $\le$ $\ge$ $\nleq$ $\ngeq$ $\nless$ $\ngtr$ $\lneq$ $\gneq$ $\lneqq$ $\gneqq$ $\ll$ $\gg$ $\prec$ $\succ$ $\nprec$ $\nsucc$ $\preceq$ $\succeq$ $\npreceq$ $\nsucceq$ $:=$ $\overset{\mathrm{def}}{=}$ $\triangleq$ $\models$ $\vdash$ $\dashv$ $\mid$ $\nmid$ $\mathop{\vdots}$ $\mathop{\not\vdots}$ $\parallel$ $\nparallel$ $\perp$ $\not\perp$ Большие операт. $\sum_{}^{}$ $\sum_{}$ $\prod_{}^{}$ $\prod_{}$ $\bigcup_{}^{}$ $\bigcup_{}$ $\bigcap_{}^{}$ $\bigcap_{}$ $\bigsqcup_{}^{}$ $\biguplus_{}^{}$ $\bigvee_{}^{}$ $\bigwedge_{}^{}$ $\bigoplus_{}^{}$ $\bigotimes_{}^{}$ $\bigodot_{}^{}$ Стрелки $\to$ $\mapsto$ $\rightarrow$ $\leftarrow$ $\leftrightarrow$ $\nrightarrow$ $\nleftarrow$ $\nleftrightarrow$ $\Rightarrow$ $\Leftarrow$ $\Leftrightarrow$ $\nRightarrow$ $\nLeftarrow$ $\nLeftrightarrow$ $\Uparrow$ $\Downarrow$ $\Updownarrow$ $\rightrightarrows$ $\longmapsto$ $\longrightarrow$ $\longleftarrow$ $\longleftrightarrow$ $\uparrow$ $\downarrow$ $\updownarrow$ $\Longrightarrow$ $\Longleftarrow$ $\Longleftrightarrow$ $\implies$ $\iff$ $\rightleftarrows$ $\nearrow$ $\swarrow$ $\nwarrow$ $\searrow$ $\circlearrowleft$ $\circlearrowright$ $\curvearrowleft$ $\curvearrowright$ $\xrightarrow[]{}$ $\xleftarrow[]{}$ Буквы, значки Греческие $\Gamma$ $\Delta$ $\Theta$ $\Lambda$ $\Xi$ $\Pi$ $\Sigma$ $\Upsilon$ $\Phi$ $\Psi$ $\Omega$ $\digamma$ $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ $\delta$ $\epsilon$ $\varepsilon$ $\zeta$ $\eta$ $\theta$ $\vartheta$ $\iota$ $\kappa$ $\varkappa$ $\lambda$ $\mu$ $\nu$ $\xi$ $\pi$ $\varpi$ $\rho$ $\varrho$ $\sigma$ $\varsigma$ $\tau$ $\upsilon$ $\phi$ $\varphi$ $\chi$ $\psi$ $\omega$ Резные $\mathbb{A}$ $\mathbb{B}$ $\mathbb{C}$ $\mathbb{D}$ $\mathbb{E}$ $\mathbb{F}$ $\mathbb{G}$ $\mathbb{H}$ $\mathbb{I}$ $\mathbb{J}$ $\mathbb{K}$ $\mathbb{L}$ $\mathbb{M}$ $\mathbb{N}$ $\mathbb{O}$ $\mathbb{P}$ $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{S}$ $\mathbb{T}$ $\mathbb{U}$ $\mathbb{V}$ $\mathbb{W}$ $\mathbb{X}$ $\mathbb{Y}$ $\mathbb{Z}$ Калиграф. $\mathcal{A}$ $\mathcal{B}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{D}$ $\mathcal{E}$ $\mathcal{F}$ $\mathcal{G}$ $\mathcal{H}$ $\mathcal{I}$ $\mathcal{J}$ $\mathcal{K}$ $\mathcal{L}$ $\mathcal{M}$ $\mathcal{N}$ $\mathcal{O}$ $\mathcal{P}$ $\mathcal{Q}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{S}$ $\mathcal{T}$ $\mathcal{U}$ $\mathcal{V}$ $\mathcal{W}$ $\mathcal{X}$ $\mathcal{Y}$ $\mathcal{Z}$ Рукописные $\mathscr{A}$ $\mathscr{B}$ $\mathscr{C}$ $\mathscr{D}$ $\mathscr{E}$ $\mathscr{F}$ $\mathscr{G}$ $\mathscr{H}$ $\mathscr{I}$ $\mathscr{J}$ $\mathscr{K}$ $\mathscr{L}$ $\mathscr{M}$ $\mathscr{N}$ $\mathscr{O}$ $\mathscr{P}$ $\mathscr{Q}$ $\mathscr{R}$ $\mathscr{S}$ $\mathscr{T}$ $\mathscr{U}$ $\mathscr{V}$ $\mathscr{W}$ $\mathscr{X}$ $\mathscr{Y}$ $\mathscr{Z}$ Готические $\mathfrak{A}$ $\mathfrak{B}$ $\mathfrak{C}$ $\mathfrak{D}$ $\mathfrak{E}$ $\mathfrak{F}$ $\mathfrak{G}$ $\mathfrak{H}$ $\mathfrak{I}$ $\mathfrak{J}$ $\mathfrak{K}$ $\mathfrak{L}$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{N}$ $\mathfrak{O}$ $\mathfrak{P}$ $\mathfrak{Q}$ $\mathfrak{R}$ $\mathfrak{S}$ $\mathfrak{T}$ $\mathfrak{U}$ $\mathfrak{V}$ $\mathfrak{W}$ $\mathfrak{X}$ $\mathfrak{Y}$ $\mathfrak{Z}$ $\mathfrak{a}$ $\mathfrak{b}$ $\mathfrak{c}$ $\mathfrak{d}$ $\mathfrak{e}$ $\mathfrak{f}$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{h}$ $\mathfrak{i}$ $\mathfrak{j}$ $\mathfrak{k}$ $\mathfrak{l}$ $\mathfrak{m}$ $\mathfrak{n}$ $\mathfrak{o}$ $\mathfrak{p}$ $\mathfrak{q}$ $\mathfrak{r}$ $\mathfrak{s}$ $\mathfrak{t}$ $\mathfrak{u}$ $\mathfrak{v}$ $\mathfrak{w}$ $\mathfrak{x}$ $\mathfrak{y}$ $\mathfrak{z}$ Значки $\varnothing$ $\infty$ $\partial$ $\aleph$ $\mathfrak{c}$ $\ell$ $\hbar$ $\O$ $\bot$ $\top$ $\angle$ $\measuredangle$ $\sphericalangle$ $\frown$ $\smile$ $\vartriangle$ $\triangledown$ $\blacktriangle$ $\blacktriangledown$ $\triangleleft$ $\triangleright$ $\blacktriangleleft$ $\blacktriangleright$ $\triangle$ $\square$ $\blacksquare$ $\bigcirc$ $\star$ $\bigstar$ $\bullet$ $\diamond$ $\textasciicircum$ $\therefore$ $\because$ $\&$ $\%$ $\S$ $\P$ $\backslash$ Функции, операт. Станд. функц. $\max_{}$ $\min_{}$ $\sup_{}$ $\inf_{}$ $\Pr_{}$ $\operatorname{sign}$ $\deg$ $\arg$ $\operatorname{НОД}$ $\operatorname{НОК}$ $\operatorname{Im}$ $\operatorname{Re}$ $\dim$ $\ker$ $\hom$ $\operatorname{diag}$ $\operatorname{rank}$ $\det$ $\operatorname{tr}$ $\operatorname{spec}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{M}$ $\mathsf{D}$ $\Im$ $\Re$ \operatorname{} Элем. функц. $\exp$ $\log_{}$ $\ln$ $\lg$ $\sin$ $\cos$ $\tg$ $\ctg$ $\arcsin$ $\arccos$ $\arctg$ $\arcctg$ $\sh$ $\ch$ $\th$ $\cth$ Пределы $\lim_{n\to\infty}$ $\lim_{x\to }$ $lim_{}$ $\limsup_{n\to\infty}$ $\liminf_{n\to\infty}$ $\varlimsup_{n\to\infty}$ $\varliminf_{n\to\infty}$ $\to$ $\rightrightarrows$ $\infty$ Дифф. опер. $\mathrm{d}$ $\partial$ $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}$ $\frac{\partial }{\partial x}$ $\frac{\partial^2 }{\partial x^2}$ $\nabla$ $\Delta$ $\operatorname{grad}$ $\operatorname{div}$ $\operatorname{rot}$ Интегралы $\int$ $\int_{}^{}$ $\int\limits_{}^{}$ $\int_{}$ $\int\limits_{}$ $\oint$ $\oint_{}$ $\oint\limits_{}$ $\ointctrclockwise$ $\ointclockwise$ $\iint$ $\iint_{}$ $\iint\limits_{}$ $\oiint$ $\oiint_{}$ $\oiint\limits_{}$ $\varoiint$ $\sqiint$ $\iiint$ $\iiint_{}$ $\iiint\limits_{}$ $\dotsint$ $\dotsint_{}$ $\dotsint\limits_{}$ Сравнения $\equiv$ $\mod{}$ $\pmod{}$ $\pod{}$ Матрицы $\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}$ $\begin{pmatrix} & \\ & \end{pmatrix}$ $\begin{vmatrix} & \\ & \end{vmatrix}$ $\begin{Vmatrix} & \\ & \end{Vmatrix}$ $\begin{bmatrix} & \\ & \end{bmatrix}$ $\begin{Bmatrix} & \\ & \end{Bmatrix}$ $\left\{\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right.$ $\left[\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right.$ $\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right\}$ $\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right\|$ $\left(\begin{smallmatrix} & \\ & \end{smallmatrix}\right)$ $\binom{}{}$ $\tbinom{}{}$ Спец. блоки $\begin{cases} & \\ & \end{cases}$ $\begin{aligned} & \\ & \end{aligned}$ $\begin{align} & \tag{} \\ & \tag{} \end{align}$ $\begin{tikzpicture} \end{tikzpicture}$ $\ce{}$
Преобразовать url в ссылки Преобразовать $ в tex
* Сколько символов на картинке?
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.

Теги: #математика #задача

∀ x, y, z

Найдет ли Трубадур принцессу в 17-комнатах?