На окружности случайным образом выбрано три точки
. Какова вероятность того, что треугольник

остроугольный?
Считаем, что выбор точек определяется соответствующим углом и распределение равномерное.
Пусть выбрана первая точка
. Не важно, где она выбрана, т.к. окружность инвариантна относительно поворотов. Без ограничения общности можно считать, что точка

соответствует углу
. Пусть далее выбрана точка

и ей соответствует угол
. Углы будем измерять от

до
. Для того, чтобы треугольник получился отсроугольным, нужно, чтобы точка

попала в сектор, образованный диаметрами, проведенными через точки

и
, лежащий напротив точек

и
. Если обозначить соответствующий точке

угол через
, то геометрически картинка будет выглядеть так: