Пусть в треугольнике

известен угол

при вершине
, прилежащая к этому углу сторона

и противоположная к вершине

сторона
. Нужно найти вторую прилежащую сторону
.
По теореме косинусов имеем равенство
, которое является квадратным уравнением относительно
. Запишем уравнение в более привычном виде

и решим полученное уравнение. Дискриминант уравнения равен
, поэтому при условии

решения выражаются следующим образом
.
Почему при решении треугольника получилось два решения? Что же означает геометрически? Дело в том, что при

сторона

определена неоднозначно. Условию задачи удовлетворяет не только треугольник
, но и треугольник
.
Кстати, также виден геометрический смысл слагаемых в решении.
,
, а

и

находятся из прямоугольных треугольников

и

при известной гипотенузе
, что и записали при извлечении корня из дискриминанта
. Наконец, искомые
,
.