Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
Уравнение плоскости вида

называется нормальным уравнением плоскости, если длина вектора нормали

равна единице, то есть
, и кроме того принимается соглашение, что коэффициент
.
Обычно нормальное уравнение плоскости записывают в виде:
.
Здесь

— направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины, то есть
, причем
. Кроме того с учетом соглашения о знаке свободного коэффициента
.
Найдем расстояние от произвольной точки

до плоскости
, которая задана нормальным уравнением
.
Пусть

— произвольная точка плоскости
. Тогда расстояние от точки

до плоскости

будет равно длине проекции вектора

на нормаль
.
Проекция вектора

на нормаль

выражается через скалярное произведение:
Если в качестве точки

взять начало координат
, то получим
. Отсюда, в частности, следует, что расстояние от начала координат до плоскости

равно
.
Если изначально не накладывать ограничения на знак
, то величина

будет положительной в том случае, если точка

лежит в полупространстве относительно плоскости
, в которую направлен вектор
, будет отрицательной в случае, если точка

лежит в полупространстве относительно плоскости
, в которую направлен вектор
, и будет нулевой, если точка

принадлежит плоскости
.
Поскольку по принятому соглашению

и при этом значение
, то можно сделать вывод, что условие

определяет направление вектора нормали

так, что он направлен из начала координат к плоскости.
Таким образом, можно заключить, что значение

будет отрицательным, если точка

находится в одном полупространстве с началом координат
, будет положительным, если точка

не находится в одном полупространстве с началом координат
, и будет нулевым, если

принадлежит самой плоскости.