Найдите общее решение линейной системы в зависимости от значения параметра . При каких значениях система допускает решение с помощью обратной матрицы?
Решение
Если обозначить
,
,
,
тогда систему можно записать в виде .
Определитель .
Приравнивая к нулю, найдем, что при и .
Если и , то матрица имеет обратную
и решение имеет вид .
Если аккуратно перемножить и упростить, получим .
Случаи и рассматриваются отдельно. Нужно просто подставить и решить как обычную систему линейных уравнений с числовыми коэффициентами без параметров, например, методом гаусса.
Можно не использовать обратную матрицу, а применить метод редукции гаусса к расширенной матрице, учитывая, что и ,
и получить
.
При расширенная матрица
редуцируется до
.
Следовательно решения имеют вид , или в матричном виде:
.
При расширенная матрица
редуцируется до
.
Следовательно, система не имеет решений.