Полилинейные кососимметрические функции
Определение.
Пусть

— вещественнозначная функция, определенная на векторах
.
Функция

называется полилинейной, если она линейная по каждому аргументу:
.
Функция

называется кососимметрической, если при перестановке любых двух аргументов значение функции меняет знак:
.
Свойства полилинейных кососимметрических функций
Утверждение.
Если

— кососимметрическая функция, то она обращается в ноль, если хотя бы два аргумента равны между собой
.
Действительно, по определению
,
откуда следует
.
Верно и обратное.
Пусть функция

такова, что она обращается в ноль, если хотя бы два аргумента равны между собой
.
Тогда
,
откуда следует
.
Таким образом, условие

можно взять в качестве определения кососимметричности.
Утверждение.
.
Действительно, по определению
,
откуда следует
.
Утверждение.
Если

линейно зависимы, то
.
Действительно, если

линейно зависимы, то найдется вектор
, который линейно выражается через остальные, то есть
.
Поэтому
.
В этой сумме каждое слагаемое
, поскольку аргумент

входит в него по два раза.
Определитель матрицы
Пусть

— квадратная матрица размера
.
Пусть

— строки матрицы
.
Определение через перестановки
Положим по определению
,
где

— группа перестановок порядка
, а

— сигнатура или четность перестановки
, которая может быть выражена
, где

— число транспозиций в разложении перестановки
.
Определитель обозначают
.
Докажем, что определитель

есть полилинейная кососимметрическая функция на строках
, причем
, где

— строки единичной матрицы
.
Докажем полилинейность, то есть линейность по каждому аргументу.
Докажем кососимметричность.
Пусть

— транспозиция. Если

пробегает все
, то

также пробегает все
. Также

оставляет неподвижными все точки, отличные от
, то есть
, если
.
Наконец докажем, что
.
, где символ Кронекера
.
.
Итак, доказано, что

есть полилинейная кососимметрическая функция строк матрицы
.
Аксиоматическое построение определителя
Докажем, что всякая полилинейная кососимметрическая функция

представляется в виде
.
Так как
, то
.
С учетом полилинейности и кососимметричности, последнее выражение приводится к виду
С учетом вышесказанного, понятие определителя может быть введено на основе его свойств. А именно, определителем матрицы

называется функция
, обладающая следующими тремя свойствами:
— кососимметрическая функция.
— полилинейная функция.
, где
— строки единичной матрицы.
Свойства определителя
Определитель транспонированной матрицы
Утверждение.
.
Здесь

— матрица транспонированная к матрице
, то есть
, где
.
Доказательство.
Если

пробегает все
, то

также пробегает все
. Также
.
Определитель треугольной матрицы
Утверждение
.
Доказательство
По определению
.
В этой сумме отличны от нуля только те слагаемые, в которых первый сомножитель
, то есть только те слагаемые, для которых
, поэтому
,
где через

обозначена группа перестановок, действующих на множестве
.
Следствие 1.
.
Следствие 2.
.
Доказательство
.
Мы воспользовались тем, что
.
Следствие 3.
.