Определение и свойства определителя матрицы

Сообщения: 2 🔎

# 24 Янв 2016 17:05:28
Evgeniy

Полилинейные кососимметрические функции

Определение.

Пусть $f(A_1,\dots,A_n)$ — вещественнозначная функция, определенная на векторах $A_i \in \mathbb{R}^n$ .

Функция $f(A_1,\dots,A_n)$ называется полилинейной, если она линейная по каждому аргументу:

$f(A_1,\dots, \lambda'A'_i + \lambda''A''_i, \dots, A_n) = \lambda'f(A_1,\dots, A'_i, \dots, A_n) + \lambda''f(A_1,\dots, A''_i, \dots, A_n)$ .

Функция $f(A_1,\dots,A_n)$ называется кососимметрической, если при перестановке любых двух аргументов значение функции меняет знак:

$f(A_1,\dots, A_i, \dots, A_j, \dots, A_n) = -f(A_1,\dots, A_j, \dots, A_i, \dots, A_n)$ .

Свойства полилинейных кососимметрических функций

Утверждение.

Если $f(A_1,\dots, A_i, \dots, A_j, \dots, A_n)$ — кососимметрическая функция, то она обращается в ноль, если хотя бы два аргумента равны между собой $f(A_1,\dots, A, \dots, A, \dots, A_n) = 0$ .

Действительно, по определению

$f(A_1,\dots, A, \dots, A, \dots, A_n) = - f(A_1,\dots, A, \dots, A, \dots, A_n)$ ,

откуда следует $f(A_1,\dots, A, \dots, A, \dots, A_n) = 0$ .

Верно и обратное.

Пусть функция $f(A_1, \dots, A_i, \dots, A_j, \dots, A_n)$ такова, что она обращается в ноль, если хотя бы два аргумента равны между собой $f(A_1,\dots, A, \dots, A, \dots, A_n) = 0$ .

Тогда

$0 = f(A_1,\dots, A_i+A_j, \dots, A_i+A_j, \dots, A_n) = f(A_1,\dots, A_i, \dots, A_j, \dots, A_n) + f(A_1,\dots,A_j, \dots, A_i, \dots, A_n)$ ,

откуда следует $f(A_1,\dots,A_j, \dots, A_i, \dots, A_n) = -f(A_1,\dots, A_i, \dots, A_j, \dots, A_n)$ .

Таким образом, условие $f(A_1,\dots, A, \dots, A, \dots, A_n) = 0$ можно взять в качестве определения кососимметричности.

Утверждение.

$f(A_1,\dots, 0, \dots, A_n) = 0$ .

Действительно, по определению

$f(A_1,\dots, 0, \dots, A_n) = f(A_1,\dots, 0+0, \dots, A_n) = f(A_1,\dots, 0, \dots, A_n)+f(A_1,\dots, 0, \dots, A_n)$ ,

откуда следует $f(A_1,\dots, 0, \dots, A_n) = 0$ .

Утверждение.

Если $A_1,\dots, A_n$ линейно зависимы, то $f(A_1,\dots, A_n) = 0$ .

Действительно, если $A_1,\dots, A_n$ линейно зависимы, то найдется вектор $A_i$ , который линейно выражается через остальные, то есть $A_i = \sum_{k\ne i}\lambda_{k}A_{k}$ .

Поэтому

$f(A_1,\dots, A_i, \dots, A_n) = f\left(A_1,\dots, \sum_{k\ne i}\lambda_{k}A_{k}, \dots, A_n\right) = \sum_{k\ne i}\lambda_{k}f(A_1,\dots, A_k, \dots, A_n) = 0$ .

В этой сумме каждое слагаемое $f(A_1,\dots, A_k, \dots, A_n) = 0$ , поскольку аргумент $A_k$ входит в него по два раза.

Определитель матрицы

Пусть $A = (a_{ij}) = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$ — квадратная матрица размера $n \times n$ .

Пусть $A_i = (a_{i1},\dots,a_{in})$ — строки матрицы $A$ .

Определение через перестановки

Положим по определению

$\det(A) = \det(A_1,\dots,A_n) = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma} \cdot a_{1\, \sigma 1}\cdots a_{n\, \sigma n}$ ,

где $S_n$ — группа перестановок порядка $n$ , а $\varepsilon_{\sigma}$ — сигнатура или четность перестановки $\sigma$ , которая может быть выражена $\varepsilon_{\sigma} = (-1)^{N(\sigma)}$ , где $N(\sigma)$ — число транспозиций в разложении перестановки $\sigma$ .

Определитель обозначают $\det(A) = |A| = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$ .

Докажем, что определитель $\det(A) = \det(A_1,\dots,A_n)$ есть полилинейная кососимметрическая функция на строках $A_i \in \mathbb{R}^n$ , причем $\det(E) = \det(E_1,\dots,E_n)=1$ , где $E_1,\dots,E_n$ — строки единичной матрицы $E$ .

Докажем полилинейность, то есть линейность по каждому аргументу.

$%$\det(A_1,\dots, \lambda'A'_i + \lambda''A''_i, \dots, A_n) = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma} \cdot a_{1\, \sigma 1}\cdots (\lambda'a'_{i \, \sigma i}+\lambda''a''_{i \, \sigma i}) \cdots a_{n\, \sigma n} = \\ = \lambda'\sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma} \cdot a_{1\, \sigma 1}\cdots a'_{i \, \sigma i} \cdots a_{n\, \sigma n} + \lambda''\sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma} \cdot a_{1\, \sigma 1}\cdots a''_{i \, \sigma i} \cdots a_{n\, \sigma n} = \\ = \lambda'\det(A_1,\dots, A'_i, \dots, A_n) + \lambda''\det(A_1,\dots, A''_i, \dots, A_n).$%$

Докажем кососимметричность.

Пусть $\tau = (i,j)$ — транспозиция. Если $\sigma$ пробегает все $S_n$ , то $\sigma\tau$ также пробегает все $S_n$ . Также $\tau$ оставляет неподвижными все точки, отличные от $i,j$ , то есть $\tau x = x$ , если $x \ne i,j$ .

$%$\det(A_1,\dots, A_j, \dots, A_i, \dots, A_n) = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma} \cdot a_{1\, \sigma 1}\cdots a_{j \, \sigma i} \cdots a_{i \, \sigma j} \cdots a_{n\, \sigma n} = \\ = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma\tau} \cdot a_{1\, \sigma\tau 1}\cdots a_{j \, \sigma\tau i} \cdots a_{i \, \sigma\tau j} \cdots a_{n\, \sigma\tau n} = \\ = \sum_{\sigma \in S_n} -\varepsilon_{\sigma} \cdot a_{1\, \sigma 1}\cdots a_{j \, \sigma j} \cdots a_{i \, \sigma i} \cdots a_{n\, \sigma n} = \\ = - \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma} \cdot a_{1\, \sigma 1}\cdots a_{i \, \sigma i} \cdots a_{j \, \sigma j} \cdots a_{n\, \sigma n} = - \det(A_1,\dots, A_i, \dots, A_j, \dots, A_n).$%$

Наконец докажем, что $\det(E_1,\dots,E_n)=1$ .

$E = (\delta_{ij})$ , где символ Кронекера $\delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{если}\ i=j\\ 0 & \text{если}\ i \ne j \end{cases}$ .

$\det(E) = \det(E_1,\dots,E_n) = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma} \cdot \delta_{1\, \sigma 1}\cdots \cdots \delta_{n\, \sigma n} = \varepsilon_{e}\cdot 1\cdots 1 = 1$ .

Итак, доказано, что $\det(A) = \det(A_1,\dots,A_n)$ есть полилинейная кососимметрическая функция строк матрицы $A$ .

Аксиоматическое построение определителя

Докажем, что всякая полилинейная кососимметрическая функция $f(A_1,\dots, A_n)$ представляется в виде

$f(A_1,\dots, A_n) = \det(A_1,\dots, A_n) \cdot f(E_1,\dots,E_n)$ .

Так как $A_i = a_{i1}E_1+ \cdots a_{in}E_n = \sum_{j} a_{ij}E_j$ , то $f(A_1,\dots,A_n) = f\left( \sum_{j} a_{1j}E_j,\dots,\sum_{j} a_{nj}E_j \right)$ .

С учетом полилинейности и кососимметричности, последнее выражение приводится к виду

$f\left( \sum_{j} a_{1j}E_j,\dots, \sum_{j} a_{nj}E_j \right) = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma} \cdot a_{1\, \sigma 1}\cdots a_{n\, \sigma n} \cdot f(E_1,\dots,E_n) = \det(A_1,\dots, A_n) \cdot f(E_1,\dots,E_n).$

С учетом вышесказанного, понятие определителя может быть введено на основе его свойств. А именно, определителем матрицы $A$ называется функция $\det(A) = \det(A_1,\dots,A_n) \rightarrow \mathbb{R}$ , обладающая следующими тремя свойствами:

$\det(A_1,\dots,A_n)$ — кососимметрическая функция.
$\det(A_1,\dots,A_n)$ — полилинейная функция.
$\det(E_1,\dots,E_n) = 1$ , где $E_i$ — строки единичной матрицы.

Свойства определителя

Определитель транспонированной матрицы

Утверждение.

$\det(^tA) = \det(A)$ .

Здесь $^tA$ — матрица транспонированная к матрице $A$ , то есть $^tA = A' = (a'_{ij})$ , где $a'_{ij}=a_{ji}$ .

Доказательство.

Если $\sigma$ пробегает все $S_n$ , то $\sigma^{-1}$ также пробегает все $S_n$ . Также $\varepsilon_{\sigma^{-1}} = \varepsilon_{\sigma}$ .

$%$\det(^tA) = \det(A') = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma} \cdot a'_{1\, \sigma 1}\cdots a'_{n\, \sigma n} = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma} \cdot a_{\sigma 1\, 1}\cdots a_{\sigma n\, n} = \\ = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma} \cdot a_{\sigma 1\, \sigma^{-1}\sigma 1}\cdots a_{\sigma n\, \sigma^{-1}\sigma n} = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma^{-1}} \cdot a_{1\, \sigma^{-1} 1}\cdots a_{n\, \sigma^{-1} n} = \det(A).$%$

Определитель треугольной матрицы

Утверждение

$\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}\cdot \begin{vmatrix} a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$ .

Доказательство

По определению $\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma} \cdot a_{1\, \sigma 1}\cdots a_{n\, \sigma n}$ .

В этой сумме отличны от нуля только те слагаемые, в которых первый сомножитель $a_{1\, \sigma 1} = a_{11}$ , то есть только те слагаемые, для которых $\sigma 1 = 1$ , поэтому

$\sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma} \cdot a_{1\, \sigma 1}\cdots a_{n\, \sigma n} = a_{11} \sum_{\sigma \in S_{n-1}} \varepsilon_{\sigma} \cdot a_{2\, \sigma 2}\cdots a_{n\, \sigma n} =a_{11}\cdot \begin{vmatrix} a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$ ,

где через $S_{n-1}$ обозначена группа перестановок, действующих на множестве $\{2,\dots,n\}$ .

Следствие 1.

$\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 &\cdots & 0\\ a_{21} & a_{22} & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n-1\,1} & a_{n-1\,2} & \cdots & a_{n-1\,n} & 0 \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{n\,n-1} & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$ .

Следствие 2.

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}\cdot \begin{vmatrix} a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$ .

Доказательство

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0\\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & \cdots & a_{n2}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$ .

Мы воспользовались тем, что $\det(^tA) = \det(A)$ .

Следствие 3.

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & \cdots & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & \cdots & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & a_{n-1\,n-1} & a_{n-1\,n} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$ .

Цитировать

# 25 Янв 2016 18:51:46
Evgeniy

Разложение определителя по строке или по столбцу

Определение.

Пусть как и прежде $A = (a_{ij}) = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$ .

Алгебраическим дополнением элемента $a_{ij}$ матрицы $A$ называется число

$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ ,

где $M_{ij}$ — дополнительный минор, то есть определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы $A$ путем вычёркивания $i$ -ой строки и $j$ -го столбца.

Утверждение о разложении определителя по строке (по столбцу).

$\det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij} = \sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij}$ .

Утверждение (о фальшивом разложении определителя)

$\sum_{j=1}^n a_{i_1 j}A_{i_2 j} = \sum_{i=1}^n a_{i j_1}A_{i j_2} = 0$ при $i_1\ne i_2$ и $j_1\ne j_2$ .

Из этих утверждений следует алгоритм нахождения обратной матрицы.

$\sum_{k=1}^n a_{i k}A_{j k} = \sum_{k=1}^n a_{k i}A_{k j} = \delta_{ij}\det(A)$ .

Или в развернутом виде:

$%$\begin{pmatrix} {A}_{11} & {A}_{21} & \cdots & {A}_{n1} \\ {A}_{12} & {A}_{22} & \cdots & {A}_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {A}_{1n} & {A}_{2n} & \cdots & {A}_{nn} \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} \\ {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & {a}_{nn} \\ \end{pmatrix} = \\ = \begin{pmatrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} \\ {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & {a}_{nn} \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} {A}_{11} & {A}_{21} & \cdots & {A}_{n1} \\ {A}_{12} & {A}_{22} & \cdots & {A}_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {A}_{1n} & {A}_{2n} & \cdots & {A}_{nn} \\ \end{pmatrix} = \\ = \det(A) \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 &\cdots & 1 \end{pmatrix}$%$

Цитировать

Сообщения: 2 🔎


*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted] formulas > Формат Шрифт $\mathit{}$ $\mathbf{}$ $\mathrm{}$ $\mathsf{}$ $\mathfrak{}$ $\mathbb{}$ $\mathcal{}$ $\mathscr{}$ Размер $\tiny Aa$ $\scriptsize Aa$ $\footnotesize Aa$ $\small Aa$ $\normalsize Aa$ $\large Aa$ $\Large Aa$ $\LARGE Aa$ $\huge Aa$ $\Huge Aa$ Цвет ${\color{Red} }$ ${\color{DarkRed} }$ ${\color{BrickRed} }$ ${\color{Magenta} }$ ${\color{VioletRed} }$ ${\color{Yellow} }$ ${\color{Orange} }$ ${\color{DarkOrange} }$ ${\color{Brown} }$ ${\color{Sepia} }$ ${\color{Green} }$ ${\color{DarkGreen} }$ ${\color{ForestGreen} }$ ${\color{Teal} }$ ${\color{Emerald} }$ ${\color{Blue} }$ ${\color{DarkBlue} }$ ${\color{RoyalBlue} }$ ${\color{BlueViolet} }$ ${\color{Purple} }$ ${\color{Gray} }$ ${\color{Plum} }$ ${\color{Cyan} }$ Стиль \text{} $\tstyle$ $\dstyle$ Дроби, корни $\frac{}{}$ $\tfrac{}{}$ $\dfrac{}{}$ $\cfrac{}{}$ $\over$ $\atop$ $\sqrt{}$ $\sqrt[]{}$ $\binom{}{}$ $\tbinom{}{}$ Скобки $()$ $\{\}$ $[]$ $\|\|$ $\\|\\|$ $\langle \rangle$ $\left( \right)$ $\left\{ \right\}$ $\left[ \right]$ $\left\| \right\|$ $\left\\| \right\\|$ $\left\langle \right\rangle$ $\left( \right.$ $\left. \right)$ $\left\{ \right.$ $\left. \right\}$ $\left[ \right.;$ $\left. \right]$ $\left\| \right.;$ $\left. \right\|$ Декор., индексы $^{}$ $_{}$ $^{}_{}$ ${}^{}$ ${}_{}$ ${}^{}_{}$ $\leftidx{}{}{}$ $\ltrans{}$ $\vec{}$ $\bar{}$ $\tilde{}$ $\hat{}$ $\dot{}$ $\ddot{}$ $\dddot{}$ $^{\circ}$ $\overset{\circ}{}$ $\overset{\frown}{}$ $\overrightarrow{}$ $\overleftarrow{}$ $\overline{}$ $\underline{}$ $\widetilde{}$ $\widehat{}$ $\overbrace{}^{}$ $\underbrace{}_{}$ $\overset{}{}$ $\underset{}{}$ $\left. \right\|_{}^{}$ $\left. \right\|_{}$ $\not{}$ $\cancel{}$ $\bcancel{}$ $\xcancel{}$ Пробелы, разд. $\!$ $x y$ $\,$ $\;$ $\$ $\quad$ $\qquad$ $\cdot$ $\dots$ $\cdots$ $\ddots$ $\vdots$ $\colon$ $\mid$ \phantom{} \mathstrut{} Квант., операц. $\forall$ $\exists$ $\exists!$ $\nexists$ $\lnot$ $\land$ $\lor$ $\cup$ $\cap$ $\sqcup$ $\sqcap$ $\setminus$ $\bigtriangleup$ $\uplus$ $\cdot$ $\circ$ $\times$ $\pm$ $\mp$ $\dotplus$ $\div$ $/$ $\neg$ $\wedge$ $\vee$ $\barwedge$ $\veebar$ $\curlywedge$ $\curlyvee$ $\textasciicircum$ $\oplus$ $\ominus$ $\otimes$ $\oslash$ $\odot$ $\circledcirc$ $\circledast$ Отношения $\in$ $\notin$ $\ni$ $\not\ni$ $\subset$ $\supset$ $\not\subset$ $\not\supset$ $\subseteq$ $\supseteq$ $\nsubseteq$ $\nsupseteq$ $\subsetneq$ $\supsetneq$ $\subsetneqq$ $\supsetneqq$ $\neq$ $\approx$ $\equiv$ $\not\equiv$ $\sim$ $\nsim$ $\cong$ $\ncong$ $\leqslant$ $\geqslant$ $\nleqslant$ $\ngeqslant$ $\le$ $\ge$ $\nleq$ $\ngeq$ $\nless$ $\ngtr$ $\lneq$ $\gneq$ $\lneqq$ $\gneqq$ $\ll$ $\gg$ $\prec$ $\succ$ $\nprec$ $\nsucc$ $\preceq$ $\succeq$ $\npreceq$ $\nsucceq$ $:=$ $\overset{\mathrm{def}}{=}$ $\triangleq$ $\models$ $\vdash$ $\dashv$ $\mid$ $\nmid$ $\mathop{\vdots}$ $\mathop{\not\vdots}$ $\parallel$ $\nparallel$ $\perp$ $\not\perp$ Большие операт. $\sum_{}^{}$ $\sum_{}$ $\prod_{}^{}$ $\prod_{}$ $\bigcup_{}^{}$ $\bigcup_{}$ $\bigcap_{}^{}$ $\bigcap_{}$ $\bigsqcup_{}^{}$ $\biguplus_{}^{}$ $\bigvee_{}^{}$ $\bigwedge_{}^{}$ $\bigoplus_{}^{}$ $\bigotimes_{}^{}$ $\bigodot_{}^{}$ Стрелки $\to$ $\mapsto$ $\rightarrow$ $\leftarrow$ $\leftrightarrow$ $\nrightarrow$ $\nleftarrow$ $\nleftrightarrow$ $\Rightarrow$ $\Leftarrow$ $\Leftrightarrow$ $\nRightarrow$ $\nLeftarrow$ $\nLeftrightarrow$ $\Uparrow$ $\Downarrow$ $\Updownarrow$ $\rightrightarrows$ $\longmapsto$ $\longrightarrow$ $\longleftarrow$ $\longleftrightarrow$ $\uparrow$ $\downarrow$ $\updownarrow$ $\Longrightarrow$ $\Longleftarrow$ $\Longleftrightarrow$ $\implies$ $\iff$ $\rightleftarrows$ $\nearrow$ $\swarrow$ $\nwarrow$ $\searrow$ $\circlearrowleft$ $\circlearrowright$ $\curvearrowleft$ $\curvearrowright$ $\xrightarrow[]{}$ $\xleftarrow[]{}$ Буквы, значки Греческие $\Gamma$ $\Delta$ $\Theta$ $\Lambda$ $\Xi$ $\Pi$ $\Sigma$ $\Upsilon$ $\Phi$ $\Psi$ $\Omega$ $\digamma$ $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ $\delta$ $\epsilon$ $\varepsilon$ $\zeta$ $\eta$ $\theta$ $\vartheta$ $\iota$ $\kappa$ $\varkappa$ $\lambda$ $\mu$ $\nu$ $\xi$ $\pi$ $\varpi$ $\rho$ $\varrho$ $\sigma$ $\varsigma$ $\tau$ $\upsilon$ $\phi$ $\varphi$ $\chi$ $\psi$ $\omega$ Резные $\mathbb{A}$ $\mathbb{B}$ $\mathbb{C}$ $\mathbb{D}$ $\mathbb{E}$ $\mathbb{F}$ $\mathbb{G}$ $\mathbb{H}$ $\mathbb{I}$ $\mathbb{J}$ $\mathbb{K}$ $\mathbb{L}$ $\mathbb{M}$ $\mathbb{N}$ $\mathbb{O}$ $\mathbb{P}$ $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{S}$ $\mathbb{T}$ $\mathbb{U}$ $\mathbb{V}$ $\mathbb{W}$ $\mathbb{X}$ $\mathbb{Y}$ $\mathbb{Z}$ Калиграф. $\mathcal{A}$ $\mathcal{B}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{D}$ $\mathcal{E}$ $\mathcal{F}$ $\mathcal{G}$ $\mathcal{H}$ $\mathcal{I}$ $\mathcal{J}$ $\mathcal{K}$ $\mathcal{L}$ $\mathcal{M}$ $\mathcal{N}$ $\mathcal{O}$ $\mathcal{P}$ $\mathcal{Q}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{S}$ $\mathcal{T}$ $\mathcal{U}$ $\mathcal{V}$ $\mathcal{W}$ $\mathcal{X}$ $\mathcal{Y}$ $\mathcal{Z}$ Рукописные $\mathscr{A}$ $\mathscr{B}$ $\mathscr{C}$ $\mathscr{D}$ $\mathscr{E}$ $\mathscr{F}$ $\mathscr{G}$ $\mathscr{H}$ $\mathscr{I}$ $\mathscr{J}$ $\mathscr{K}$ $\mathscr{L}$ $\mathscr{M}$ $\mathscr{N}$ $\mathscr{O}$ $\mathscr{P}$ $\mathscr{Q}$ $\mathscr{R}$ $\mathscr{S}$ $\mathscr{T}$ $\mathscr{U}$ $\mathscr{V}$ $\mathscr{W}$ $\mathscr{X}$ $\mathscr{Y}$ $\mathscr{Z}$ Готические $\mathfrak{A}$ $\mathfrak{B}$ $\mathfrak{C}$ $\mathfrak{D}$ $\mathfrak{E}$ $\mathfrak{F}$ $\mathfrak{G}$ $\mathfrak{H}$ $\mathfrak{I}$ $\mathfrak{J}$ $\mathfrak{K}$ $\mathfrak{L}$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{N}$ $\mathfrak{O}$ $\mathfrak{P}$ $\mathfrak{Q}$ $\mathfrak{R}$ $\mathfrak{S}$ $\mathfrak{T}$ $\mathfrak{U}$ $\mathfrak{V}$ $\mathfrak{W}$ $\mathfrak{X}$ $\mathfrak{Y}$ $\mathfrak{Z}$ $\mathfrak{a}$ $\mathfrak{b}$ $\mathfrak{c}$ $\mathfrak{d}$ $\mathfrak{e}$ $\mathfrak{f}$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{h}$ $\mathfrak{i}$ $\mathfrak{j}$ $\mathfrak{k}$ $\mathfrak{l}$ $\mathfrak{m}$ $\mathfrak{n}$ $\mathfrak{o}$ $\mathfrak{p}$ $\mathfrak{q}$ $\mathfrak{r}$ $\mathfrak{s}$ $\mathfrak{t}$ $\mathfrak{u}$ $\mathfrak{v}$ $\mathfrak{w}$ $\mathfrak{x}$ $\mathfrak{y}$ $\mathfrak{z}$ Значки $\varnothing$ $\infty$ $\partial$ $\aleph$ $\mathfrak{c}$ $\ell$ $\hbar$ $\O$ $\bot$ $\top$ $\angle$ $\measuredangle$ $\sphericalangle$ $\frown$ $\smile$ $\vartriangle$ $\triangledown$ $\blacktriangle$ $\blacktriangledown$ $\triangleleft$ $\triangleright$ $\blacktriangleleft$ $\blacktriangleright$ $\triangle$ $\square$ $\blacksquare$ $\bigcirc$ $\star$ $\bigstar$ $\bullet$ $\diamond$ $\textasciicircum$ $\therefore$ $\because$ $\&$ $\%$ $\S$ $\P$ $\backslash$ Функции, операт. Станд. функц. $\max_{}$ $\min_{}$ $\sup_{}$ $\inf_{}$ $\Pr_{}$ $\operatorname{sign}$ $\deg$ $\arg$ $\operatorname{НОД}$ $\operatorname{НОК}$ $\operatorname{Im}$ $\operatorname{Re}$ $\dim$ $\ker$ $\hom$ $\operatorname{diag}$ $\operatorname{rank}$ $\det$ $\operatorname{tr}$ $\operatorname{spec}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{M}$ $\mathsf{D}$ $\Im$ $\Re$ \operatorname{} Элем. функц. $\exp$ $\log_{}$ $\ln$ $\lg$ $\sin$ $\cos$ $\tg$ $\ctg$ $\arcsin$ $\arccos$ $\arctg$ $\arcctg$ $\sh$ $\ch$ $\th$ $\cth$ Пределы $\lim_{n\to\infty}$ $\lim_{x\to }$ $lim_{}$ $\limsup_{n\to\infty}$ $\liminf_{n\to\infty}$ $\varlimsup_{n\to\infty}$ $\varliminf_{n\to\infty}$ $\to$ $\rightrightarrows$ $\infty$ Дифф. опер. $\mathrm{d}$ $\partial$ $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}$ $\frac{\partial }{\partial x}$ $\frac{\partial^2 }{\partial x^2}$ $\nabla$ $\Delta$ $\operatorname{grad}$ $\operatorname{div}$ $\operatorname{rot}$ Интегралы $\int$ $\int_{}^{}$ $\int\limits_{}^{}$ $\int_{}$ $\int\limits_{}$ $\oint$ $\oint_{}$ $\oint\limits_{}$ $\ointctrclockwise$ $\ointclockwise$ $\iint$ $\iint_{}$ $\iint\limits_{}$ $\oiint$ $\oiint_{}$ $\oiint\limits_{}$ $\varoiint$ $\sqiint$ $\iiint$ $\iiint_{}$ $\iiint\limits_{}$ $\dotsint$ $\dotsint_{}$ $\dotsint\limits_{}$ Сравнения $\equiv$ $\mod{}$ $\pmod{}$ $\pod{}$ Матрицы $\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}$ $\begin{pmatrix} & \\ & \end{pmatrix}$ $\begin{vmatrix} & \\ & \end{vmatrix}$ $\begin{Vmatrix} & \\ & \end{Vmatrix}$ $\begin{bmatrix} & \\ & \end{bmatrix}$ $\begin{Bmatrix} & \\ & \end{Bmatrix}$ $\left\{\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right.$ $\left[\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right.$ $\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right\}$ $\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right\|$ $\left(\begin{smallmatrix} & \\ & \end{smallmatrix}\right)$ $\binom{}{}$ $\tbinom{}{}$ Спец. блоки $\begin{cases} & \\ & \end{cases}$ $\begin{aligned} & \\ & \end{aligned}$ $\begin{align} & \tag{} \\ & \tag{} \end{align}$ $\begin{tikzpicture} \end{tikzpicture}$ $\ce{}$
Преобразовать url в ссылки Преобразовать $ в tex
* Сколько символов на картинке?
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.

∀ x, y, z

Определение и свойства определителя матрицы