Множество полумагических матриц

образует подпространство в
. Чтобы это доказать, достаточно по критерию подпространства показать, что линейная комбинация любых двух матриц из

принадлежит
.
Проведем рассуждение для случая размера матриц
.
Пусть

и

- две полумагические матрицы.
Линейная комбинация
.
Если сумма по строкам и столбцам в матрице

равнялась
, а в матрице

равнялась
, то в матрице

сумма по строкам и столбцам будет равна
, то есть матрица

также является полумагической.
Будем рассматривать размерность подпространства как число независимых параметров, с помощью которых можно задавать его элементы.
Проведем рассуждения для размера матриц
.
Пусть нам нужно построить полумагическую матрицу
, то есть матрицу, у которых суммы элементов в каждой строке и в каждом столбце равны между собой.
Элементы первой строки
, 
и

можно выбрать произвольно.
Пусть
.
Элементы второй строки

и

можно выбрать произвольно, но элемент

уже должен подчиняться условию
.
Элементы третьей строки уже нельзя выбрать произвольно, они находятся из условий, что сумма по каждому столбцу равна
.
Таким образом, множество полумагических матриц может быть параметризовано следующим образом:
, где

- параметры.
Получили, что независимых параметров
.
Гипотеза: в случае размера матриц

размерность подпространства полумагических матриц равна
.
Вернемся к случаю размера матриц
.
Составим базис подпространства
, поочередно придавая каждому из параметров

значение
, а остальным
.
Получим пять базисных матриц:
,
,
,
,
.
Матрицы

линейно независимые, так как линейная комбинация

равна нулевой матрице тогда и только тогда, когда
.
Чтобы разложить произвольную полумагическую матрицу по базису, нужно ее приравнять матрицу к параметрическому представлению полумагической матрицы.
.
Из этого равенства сразу видно, что
, то есть координаты матрицы

в базисе

равны
.