Определение показательной функции

Сообщения: 1 🔎

# 28 Дек 2015 01:09:32
Evgeniy

Будем пользоваться следующими свойствами вещественных чисел, связанными с неравенствами:

Если $0<c$ , то $a<b \Leftrightarrow ac<bc$ ;

Если $c<0$ , то $a<b \Leftrightarrow ac>bc$ ;

$0<a \Leftrightarrow 0<\frac{1}{a}$ ;

$0<a<b \Leftrightarrow 0<\frac{1}{b}<\frac{1}{a}$ .

Степень числа $a$ с натуральным показателем $n$ определяется индуктивно:

$\begin{cases} a^1 = a \\ a^{n+1} = a^{n} \cdot a \end{cases}$

Степень числа $a$ с целым показателем $n$ определяется следующим образом:

$a^n = \begin{cases} a^n & \text{если}\ n>0 \\ 1 & \text{если}\ n=0 \\ \left( a^{-1} \right)^{|n|} & \text{если}\ n<0 \\ \end{cases}$

Справедливы следующие свойства степени с целым показателем.

$a^{m+n} = a^{m} a^{n}$ ,
$\left(a^m\right)^n = a^{m n}$ ,
$\left(a b\right)^n = a^n b^n$ .

Если $n>0$ , то $a<b \Leftrightarrow a^n<b^n$ , в частности $1<a \Leftrightarrow 1<a^n$ ,
Если $n<0$ , то $a<b \Leftrightarrow a^n>b^n$ , в частности $1<a \Leftrightarrow 1>a^n$ .

Если $a>1$ , то $a^n>1$ ,
Если $0<a<1$ , то $0<a^n<1$ .

Если $a>1$ , то $m<n \Leftrightarrow a^m<a^n$ ,
Если $0<a<1$ , то $m<n \Leftrightarrow a^m>a^n$ .

Покажем, что при $a>1$ верно $\lim_{n \to +\infty}a^n = +\infty$ и $\lim_{n \to -\infty}a^n = 0$ .

Множество $A = \{a^n, n \in \mathbb{N}\}$ не ограничено сверху. Действительно, допустим противное: множество $A$ ограничено сверху. Тогда множество $A$ имеет точную верхнюю границу $s$ , в частности $\forall n \in \mathbb{N}\ a^n \le s$ . Поскольку $a>1$ и $0<\frac{1}{a}<1$ , то справедливо неравенство $\frac{a}{s}<s$ . По свойству точной верхней границы найдется $n_0$ такой, что $\frac{a}{s} < a^{n_0} \le s$ , откуда следует $s < a^{n_0+1}$ , что невозможно. Заметим, что с учетом монотонности $a^n$ по $n$ можно утверждать, что $\forall x\in\mathbb{R}\ \exists n_0 \in \mathbb{N}\ \forall n>n_0\ \left (a^n>x \right )$ . Этим показано, что $\lim_{n \to +\infty}a^n = +\infty$ .

Из доказанного также следует, что $\forall \varepsilon>0\ \exists n_0 \in \mathbb{N}\ \forall n>n_0\ \left (0 < a^{-n}=\frac{1}{a^n} < \varepsilon \right )$ , то есть $\lim_{n \to -\infty}a^n = 0$ .

Далее покажем, что для всякого натурального $n$ и $a>0$ существует и единственное число $c>0$ такое, что $c^n=a$ , то есть однозначно определен корень $\sqrt[n]{a}>0$ .

Этот факт может быть получен как следствие непрерывности степенной функции $f(x)=x^n$ на всяком отрезке, лежащем в $(0,+\infty)$ и теоремы о промежуточном значении. Непрерывность степенной функции следует из определения и арифметических свойств предела.

Действительно, пусть задан какой-то $y>0$ . Если $1<y$ , то будет верно $f(1)=1^n < y \le y^n=f(y)$ . Если $0<y<1$ , то будет верно $f(y)=y^n \le y < 1^n=f(1)$ . В обоих случаях можно применяя теорему о промежуточном значении можем заключить, что найдется $x>0$ такой, что $f(x)=x^n=y$ .

Справедливы следующие свойства корня, которые следуют из свойств степеней.

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$ ,
$\sqrt[n]{a b} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ .

Если $a>1$ , то $m<n \Leftrightarrow \sqrt[m]{a}<\sqrt[n]{a}$ ,
Если $0<a<1$ , то $m<n \Leftrightarrow \sqrt[m]{a}>\sqrt[n]{a}$ .

Определим степень вещественного числа $a$ с рациональным показателем $r$ .

Пусть пока $a>1$ .

Всякое рациональное число $r$ может быть представлено в виде отношения $r=\frac{m}{n}$ , где $m$ – целое, а $n$ – натуральное.

Положим по определению $a^r = \sqrt[n]{a^m}$ .

Отображение $r \mapsto a^r$ определено корректно в том смысле, что не зависит от представления рационального числа $r$ в виде отношения $r=\frac{m}{n}$ , а также оно инъективное.

$\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n']{a^{m'}} \Leftrightarrow \left(\sqrt[n]{a^m}\right)^{nn'} = \left(\sqrt[n']{a^{m'}}\right)^{nn'} \Leftrightarrow a^{mn'} = a^{nm'} \Leftrightarrow mn' = nm' \Leftrightarrow \frac{m}{n}=\frac{m'}{n'}$ .

Покажем, что справедливы следующие свойства.

$a^{r_1+r_2} = a^{r_1}a^{r_2}$ ,
$\left(a^{r_1}\right)^{r_2} = a^{r_1r_2}$ .

Так как $\left(\sqrt[n_1]{a^{m_1}}\sqrt[n_2]{a^{m_2}}\right)^{n_1n_2} = \left(\sqrt[n_1]{a^{m_1}}\right)^{n_1n_2}\left(\sqrt[n_2]{a^{m_2}}\right)^{n_1n_2} = a^{m_1n_2}a^{m_2n_1} = a^{m_1n_2+m_2n_1}$ , то по определению корня имеем $a^{r_1}a^{r_2} = a^{\frac{m_1}{n_1}}a^{\frac{m_2}{n_2}} = \sqrt[n_1]{a^{m_1}}\sqrt[n_2]{a^{m_2}} = \sqrt[n_1n_2]{a^{m_1n_2+m_2n_1}} = a^{\frac{m_1}{n_1}+\frac{m_2}{n_2}} = a^{\frac{m_1n_2+m_2n_1}{n_1n_2}} = a^{r_1+r_2}$ .

Так как $\left (\sqrt[n_2]{\left (\sqrt[n_1]{a^{m_1}} \right )^{m_2}} \right )^{n_1n_2}=a^{m_1m_2}$ , то по определению корня имеем $\left(a^{r_1}\right)^{r_2} = \left(a^{\frac{m_1}{n_1}}\right)^{\frac{m_2}{n_2}} = \left (\sqrt[n_2]{\left (\sqrt[n_1]{a^{m_1}} \right )^{m_2}} \right ) = \sqrt[n_1n_2]{a^{m_1m_2}} = a^{r_1r_2}$ .

Так как при $a>1$ и $m,n>0$ справедливы неравенства $a^m>1$ и $\sqrt[n]{a}>1$ , то для любого рационального $r>0$ будем иметь $a^r>1$ .

Из этого следует, что при $a>1$ будем иметь $r_1<r_2 \Leftrightarrow a^{r_1}<a^{r_2}$ .

Действительно, $a^{r_2} = a^{r_1}\cdot a^{r_2-r_1} > a^{r_1}\cdot 1 = a^{r_1}$ .

Покажем, что $\lim_{r \to 0} a^r = 1$ .

Пусть задано произвольное $\varepsilon>0$ .

Так как $\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{a}=1$ и $\lim_{n\to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{a}}=1$ , то найдется номер $n_0$ такой, что $\forall n>n_0\ \left(1-\varepsilon < a^{-\frac{1}{n}} < a^{\frac{1}{n}}<1+\varepsilon\right)$ .

Ввиду монотонности $a^r$ по $r$ можно заключить, что при $|r|<\frac{1}{n}$ будет верно $1-\varepsilon < a^{-\frac{1}{n}}< a^r < a^{\frac{1}{n}}<1+\varepsilon$ .

Этим показано, что $\lim_{r \to 0} a^r = 1$ .

Покажем, что $\lim_{r \to r_0} a^r = a^{r_0}$ , то есть отображение $r \mapsto a^r$ непрерывно.

$\lim_{r \to r_0} \left( a^r - a^{r_0} \right) = \lim_{r \to r_0} a^{r_0}\cdot \left( a^{r -r_0} - 1 \right) = a^{r_0}\cdot \lim_{r \to r_0} \left( a^{r -r_0} - 1 \right) = 0$ .

Определим степень числа $a$ с вещественным показателем $x$ .

Известно, что всякое вещественное число $x$ является пределом некоторой последовательности рациональных чисел $r_n \to x$ .

Положим по определению $a^x = \lim_{n \to +\infty}a^{r_n}$ .

Покажем, что этот предел всегда существует. Для этого достаточно показать, что последовательность $a^{r_n}$ фундаментальная.

Последовательность $r_n$ сходится, а значит она фундаментальная и ограниченная.

Так как $r_n$ ограничена, то найдется число $M>0$ такое, что для всех натуральных $n$ верно $-M < r_n < M$ . Из этого следует, что последовательность $a^{r_n}$ также ограничена, поскольку ввиду монотонности $a^r$ для всех натуральных $n$ верно $a^{-M} < a^{r_n} < a^{M}$ .

Из оценки $\left|a^{r_m} - a^{r_n}\right|=\left | a^{r_n} \right | \cdot \left | a^{r_m-r_n} - 1 \right |$ с учетом ограниченности последовательности $a^{r_n}$ и того факта, что $\lim_{r \to 0} a^r = 1$ , следует фундаментальность последовательности $a^{r_n}$ .

Покажем, что отображение $x \mapsto a^x$ определено корректно в том смысле, что предел $\lim_{n \to +\infty}a^{r_n}$ не зависит от выбора последовательности $r_n$ .

Пусть $r_n \to x$ и $r'_n \to x$ .

Из оценки $\left|a^{r_n} - a^{r'_n}\right|=\left | a^{r'_n} \right | \cdot \left | a^{r_n-r'_n} - 1 \right |$ с учетом ограниченности последовательности $a^{r'_n}$ и того факта, что $\lim_{r \to 0} a^r = 1$ , следует, что $\lim_{n \to +\infty} \left( a^{r_n}-a^{r_n} \right) = 0$ , откуда с учетом существования предела $\lim_{n \to +\infty} a^{r_n}$ следует $\lim_{n \to +\infty} a^{r_n} = \lim_{n \to +\infty} a^{r'_n}$ .

Покажем, что $a^{x+x'} = a^{x}a^{x'}$ .

Пусть $r_n \to x$ и $r'_n \to x'$ .

Тогда $r_n+r'_n \to x+x'$ .

По определению $a^{x+x'} = \lim_{n \to +\infty} a^{r_n+r'_n} = \lim_{n \to +\infty} a^{r_n} \cdot \lim_{n \to +\infty} a^{r'_n} = a^{x}a^{x'}$ .

Покажем, что при $a>1$ и $x>0$ верно неравенство $a^x > 1$ .

Так как $r_n \to x > 0$ , то найдется рациональное $\delta > 0$ такое, что при всех достаточно больших номерах $n$ будет верно неравенство $r_n > \delta > 0$ . С учетом уже доказанной монотонности $a^r$ по рациональному $r$ можно заключить, что при всех достаточно больших номерах $n$ будет верно неравенство $a^{r_n} > a^{\delta} > 1$ . Переходя к пределу, получим $a^x = \lim_{n \to +\infty} a^{r_n} \ge a^{\delta} > 1$ .

Из предыдущих двух свойств следует, что при $a>1$ будем иметь $x_1<x_2 \Leftrightarrow a^{x_1}<a^{x_2}$ .

Действительно, $a^{x_2} = a^{x_1} \cdot a^{x_2-x_1} > a^{x_1}\cdot 1 = a^{x_1}$ .

Далее покажем, что $\lim_{x \to 0} a^x = 1$ .

Доказательство проводится так же, как и для рационального показателя.

Пусть задано произвольное $\varepsilon>0$ .

Так как $\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{a}=1$ и $\lim_{n\to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{a}}=1$ , то найдется номер $n_0$ такой, что $\forall n>n_0\ \left(1-\varepsilon < a^{-\frac{1}{n}} < a^{\frac{1}{n}}<1+\varepsilon\right)$ .

Ввиду монотонности $a^x$ по $x$ можно заключить, что при $|x|<\frac{1}{n}$ будет верно $1-\varepsilon < a^{-\frac{1}{n}}< a^x < a^{\frac{1}{n}}<1+\varepsilon$ .

Покажем, что $\lim_{x \to x_0} a^x = a^{x_0}$ , то есть отображение $x \mapsto a^x$ непрерывно.

$\lim_{x \to x_0} \left( a^x - a^{x_0} \right) = \lim_{x \to x_0}a^{x_0}\cdot \left( a^{x -x_0} - 1 \right) = a^{x_0}\cdot \lim_{x \to x_0} \left( a^{x -x_0} - 1 \right) = 0$ .

Теперь покажем, что $\left(a^{x}\right)^{y} = a^{xy}$ .

Докажем индукцией по натуральному $n$ , что $\left(a^{x}\right)^{n} = a^{xn}$ .

При $n=1$ равенство, очевидно, верно.

Если утверждение верно при $n$ , то есть $\left(a^{x}\right)^{n} = a^{xn}$ .

Тогда $\left(a^{x}\right)^{n+1} = \left(a^{x}\right)^{n}\cdot a^{x} = a^{xn}\cdot a^{x} = a^{xn+x} = a^{x(n+1)}$ , то есть равенство верно при $n+1$ .

Заметим, что $\left(a^x\right)^{-1} = a^{-x}$ , поскольку $a^xa^{-x} = a^{x-x}=a^0 = 1$ .

Теперь докажем равенство для отрицательных целых чисел.

Пусть $m = -n$ , где $n$ – натуральное.

$\left(a^{x}\right)^{m} = \left(a^{x}\right)^{-n} = \frac{1}{\left(a^{x}\right)^{n}} = \frac{1}{a^{xn}} = a^{-xn} = a^{x(-n)} = a^{xm}$ .

Итак, равенство $\left(a^{x}\right)^{m} = a^{xm}$ верно для всех целых $m$ .

Поскольку при всех натуральных $n$ верно $\left (a^{x\frac{1}{n}} \right )^n = a^{x\frac{1}{n}n}$ = a^x, то по определению $\left(a^{x}\right)^{\frac{1}{n}} = a^{x\frac{1}{n}}$ .

Итак, равенство $\left(a^{x}\right)^{r} = a^{xr}$ доказано для всех рациональных $r$ .

Пусть $r_n \to y$ .

Тогда $xr_n \to xy$ .

$\left (a^x \right )^y = \lim_{n \to +\infty } \left (a^x \right )^{r_n} = \lim_{n \to+ \infty } a^{xr_n} = a^{xy}$ .

В последнем равенстве использовали непрерывность отображения $x \mapsto a^x$ .

При построении отображения $x \mapsto a^x$ мы считали $a>1$ . Но все построения можно было повторить и для $0<a<1$ .

Так как при $0<a<1$ и $m,n>0$ справедливы неравенства $0<a^m<0$ и $0<\sqrt[n]{a}<0$ , то для любого рационального $r>0$ будем иметь $0<a^r<0$ .

Из этого будет следовать, что при $0<a<1$ будем иметь $r_1<r_2 \Leftrightarrow a^{r_1}>a^{r_2}$ .

Из этого, в свою очередь, будет следовать, что при $0<a<1$ и $x>0$ верно неравенство $0<a^x<1$ .

Из этого будет следовать, что при $0<a<1$ верно $x_1<x_2 \Leftrightarrow a^{x_1}>a^{x_2}$ .

Итак, при $a > 0,\ a \ne 1$ на множестве вещественных чисел мы построили вещественнозначную функцию $x \mapsto a^x$ , которая действует из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}_+=\{x\in\mathbb{R}:x>0\}$ и обладает следующими свойствами:

$a^1=a$ ;
$a^{x_1+x_2} = a^{x_1}a^{x_2}$ ;
$\left(a^{x_1}\right)^{x_2} = a^{x_1x_2}$ ;
$\lim_{x \to x_0} a^x = a^{x_0}$ ;
$x_1<x_2 \Leftrightarrow a^{x_1}>a^{x_2}$ при $0<a<1$ ,
$x_1<x_2 \Leftrightarrow a^{x_1}<a^{x_2}$ при $a>1$ .

Функция $f(x) = a^x$ называется показательной функцией, число $a$ называется основанием степени, а $x$ — показателем степени.

Докажем, что функция $a^x:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_+$ биективная.

Инъективность $a^x$ немедленно следует из строгой монотонности.

Докажем сюръективность.

Если $a>1$ , тогда $\lim_{n \to +\infty}a^n = +\infty$ и $\lim_{n \to -\infty}a^n = 0$ .

Если $0<a<1$ , тогда $\lim_{n \to +\infty}a^n = 0$ и $\lim_{n \to -\infty}a^n = +\infty$ .

Из этого следует, что для любого вещественного $y>0$ найдутся целые числа $m,n$ такие, что $a^m < y < a^n$ .

Так как $f(m) = a^m < y < a^n = f(n)$ , то с учетом непрерывности функции $a^x$ по теореме о промежуточном значении найдется $x$ такое, что $y=a^x$ .

Итак, доказано, что функция $a^x:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_+$ биективная.

Цитировать

Сообщения: 1 🔎


*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted] formulas > Формат Шрифт $\mathit{}$ $\mathbf{}$ $\mathrm{}$ $\mathsf{}$ $\mathfrak{}$ $\mathbb{}$ $\mathcal{}$ $\mathscr{}$ Размер $\tiny Aa$ $\scriptsize Aa$ $\footnotesize Aa$ $\small Aa$ $\normalsize Aa$ $\large Aa$ $\Large Aa$ $\LARGE Aa$ $\huge Aa$ $\Huge Aa$ Цвет ${\color{Red} }$ ${\color{DarkRed} }$ ${\color{BrickRed} }$ ${\color{Magenta} }$ ${\color{VioletRed} }$ ${\color{Yellow} }$ ${\color{Orange} }$ ${\color{DarkOrange} }$ ${\color{Brown} }$ ${\color{Sepia} }$ ${\color{Green} }$ ${\color{DarkGreen} }$ ${\color{ForestGreen} }$ ${\color{Teal} }$ ${\color{Emerald} }$ ${\color{Blue} }$ ${\color{DarkBlue} }$ ${\color{RoyalBlue} }$ ${\color{BlueViolet} }$ ${\color{Purple} }$ ${\color{Gray} }$ ${\color{Plum} }$ ${\color{Cyan} }$ Стиль \text{} $\tstyle$ $\dstyle$ Дроби, корни $\frac{}{}$ $\tfrac{}{}$ $\dfrac{}{}$ $\cfrac{}{}$ $\over$ $\atop$ $\sqrt{}$ $\sqrt[]{}$ $\binom{}{}$ $\tbinom{}{}$ Скобки $()$ $\{\}$ $[]$ $\|\|$ $\\|\\|$ $\langle \rangle$ $\left( \right)$ $\left\{ \right\}$ $\left[ \right]$ $\left\| \right\|$ $\left\\| \right\\|$ $\left\langle \right\rangle$ $\left( \right.$ $\left. \right)$ $\left\{ \right.$ $\left. \right\}$ $\left[ \right.;$ $\left. \right]$ $\left\| \right.;$ $\left. \right\|$ Декор., индексы $^{}$ $_{}$ $^{}_{}$ ${}^{}$ ${}_{}$ ${}^{}_{}$ $\leftidx{}{}{}$ $\ltrans{}$ $\vec{}$ $\bar{}$ $\tilde{}$ $\hat{}$ $\dot{}$ $\ddot{}$ $\dddot{}$ $^{\circ}$ $\overset{\circ}{}$ $\overset{\frown}{}$ $\overrightarrow{}$ $\overleftarrow{}$ $\overline{}$ $\underline{}$ $\widetilde{}$ $\widehat{}$ $\overbrace{}^{}$ $\underbrace{}_{}$ $\overset{}{}$ $\underset{}{}$ $\left. \right\|_{}^{}$ $\left. \right\|_{}$ $\not{}$ $\cancel{}$ $\bcancel{}$ $\xcancel{}$ Пробелы, разд. $\!$ $x y$ $\,$ $\;$ $\$ $\quad$ $\qquad$ $\cdot$ $\dots$ $\cdots$ $\ddots$ $\vdots$ $\colon$ $\mid$ \phantom{} \mathstrut{} Квант., операц. $\forall$ $\exists$ $\exists!$ $\nexists$ $\lnot$ $\land$ $\lor$ $\cup$ $\cap$ $\sqcup$ $\sqcap$ $\setminus$ $\bigtriangleup$ $\uplus$ $\cdot$ $\circ$ $\times$ $\pm$ $\mp$ $\dotplus$ $\div$ $/$ $\neg$ $\wedge$ $\vee$ $\barwedge$ $\veebar$ $\curlywedge$ $\curlyvee$ $\textasciicircum$ $\oplus$ $\ominus$ $\otimes$ $\oslash$ $\odot$ $\circledcirc$ $\circledast$ Отношения $\in$ $\notin$ $\ni$ $\not\ni$ $\subset$ $\supset$ $\not\subset$ $\not\supset$ $\subseteq$ $\supseteq$ $\nsubseteq$ $\nsupseteq$ $\subsetneq$ $\supsetneq$ $\subsetneqq$ $\supsetneqq$ $\neq$ $\approx$ $\equiv$ $\not\equiv$ $\sim$ $\nsim$ $\cong$ $\ncong$ $\leqslant$ $\geqslant$ $\nleqslant$ $\ngeqslant$ $\le$ $\ge$ $\nleq$ $\ngeq$ $\nless$ $\ngtr$ $\lneq$ $\gneq$ $\lneqq$ $\gneqq$ $\ll$ $\gg$ $\prec$ $\succ$ $\nprec$ $\nsucc$ $\preceq$ $\succeq$ $\npreceq$ $\nsucceq$ $:=$ $\overset{\mathrm{def}}{=}$ $\triangleq$ $\models$ $\vdash$ $\dashv$ $\mid$ $\nmid$ $\mathop{\vdots}$ $\mathop{\not\vdots}$ $\parallel$ $\nparallel$ $\perp$ $\not\perp$ Большие операт. $\sum_{}^{}$ $\sum_{}$ $\prod_{}^{}$ $\prod_{}$ $\bigcup_{}^{}$ $\bigcup_{}$ $\bigcap_{}^{}$ $\bigcap_{}$ $\bigsqcup_{}^{}$ $\biguplus_{}^{}$ $\bigvee_{}^{}$ $\bigwedge_{}^{}$ $\bigoplus_{}^{}$ $\bigotimes_{}^{}$ $\bigodot_{}^{}$ Стрелки $\to$ $\mapsto$ $\rightarrow$ $\leftarrow$ $\leftrightarrow$ $\nrightarrow$ $\nleftarrow$ $\nleftrightarrow$ $\Rightarrow$ $\Leftarrow$ $\Leftrightarrow$ $\nRightarrow$ $\nLeftarrow$ $\nLeftrightarrow$ $\Uparrow$ $\Downarrow$ $\Updownarrow$ $\rightrightarrows$ $\longmapsto$ $\longrightarrow$ $\longleftarrow$ $\longleftrightarrow$ $\uparrow$ $\downarrow$ $\updownarrow$ $\Longrightarrow$ $\Longleftarrow$ $\Longleftrightarrow$ $\implies$ $\iff$ $\rightleftarrows$ $\nearrow$ $\swarrow$ $\nwarrow$ $\searrow$ $\circlearrowleft$ $\circlearrowright$ $\curvearrowleft$ $\curvearrowright$ $\xrightarrow[]{}$ $\xleftarrow[]{}$ Буквы, значки Греческие $\Gamma$ $\Delta$ $\Theta$ $\Lambda$ $\Xi$ $\Pi$ $\Sigma$ $\Upsilon$ $\Phi$ $\Psi$ $\Omega$ $\digamma$ $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ $\delta$ $\epsilon$ $\varepsilon$ $\zeta$ $\eta$ $\theta$ $\vartheta$ $\iota$ $\kappa$ $\varkappa$ $\lambda$ $\mu$ $\nu$ $\xi$ $\pi$ $\varpi$ $\rho$ $\varrho$ $\sigma$ $\varsigma$ $\tau$ $\upsilon$ $\phi$ $\varphi$ $\chi$ $\psi$ $\omega$ Резные $\mathbb{A}$ $\mathbb{B}$ $\mathbb{C}$ $\mathbb{D}$ $\mathbb{E}$ $\mathbb{F}$ $\mathbb{G}$ $\mathbb{H}$ $\mathbb{I}$ $\mathbb{J}$ $\mathbb{K}$ $\mathbb{L}$ $\mathbb{M}$ $\mathbb{N}$ $\mathbb{O}$ $\mathbb{P}$ $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{S}$ $\mathbb{T}$ $\mathbb{U}$ $\mathbb{V}$ $\mathbb{W}$ $\mathbb{X}$ $\mathbb{Y}$ $\mathbb{Z}$ Калиграф. $\mathcal{A}$ $\mathcal{B}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{D}$ $\mathcal{E}$ $\mathcal{F}$ $\mathcal{G}$ $\mathcal{H}$ $\mathcal{I}$ $\mathcal{J}$ $\mathcal{K}$ $\mathcal{L}$ $\mathcal{M}$ $\mathcal{N}$ $\mathcal{O}$ $\mathcal{P}$ $\mathcal{Q}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{S}$ $\mathcal{T}$ $\mathcal{U}$ $\mathcal{V}$ $\mathcal{W}$ $\mathcal{X}$ $\mathcal{Y}$ $\mathcal{Z}$ Рукописные $\mathscr{A}$ $\mathscr{B}$ $\mathscr{C}$ $\mathscr{D}$ $\mathscr{E}$ $\mathscr{F}$ $\mathscr{G}$ $\mathscr{H}$ $\mathscr{I}$ $\mathscr{J}$ $\mathscr{K}$ $\mathscr{L}$ $\mathscr{M}$ $\mathscr{N}$ $\mathscr{O}$ $\mathscr{P}$ $\mathscr{Q}$ $\mathscr{R}$ $\mathscr{S}$ $\mathscr{T}$ $\mathscr{U}$ $\mathscr{V}$ $\mathscr{W}$ $\mathscr{X}$ $\mathscr{Y}$ $\mathscr{Z}$ Готические $\mathfrak{A}$ $\mathfrak{B}$ $\mathfrak{C}$ $\mathfrak{D}$ $\mathfrak{E}$ $\mathfrak{F}$ $\mathfrak{G}$ $\mathfrak{H}$ $\mathfrak{I}$ $\mathfrak{J}$ $\mathfrak{K}$ $\mathfrak{L}$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{N}$ $\mathfrak{O}$ $\mathfrak{P}$ $\mathfrak{Q}$ $\mathfrak{R}$ $\mathfrak{S}$ $\mathfrak{T}$ $\mathfrak{U}$ $\mathfrak{V}$ $\mathfrak{W}$ $\mathfrak{X}$ $\mathfrak{Y}$ $\mathfrak{Z}$ $\mathfrak{a}$ $\mathfrak{b}$ $\mathfrak{c}$ $\mathfrak{d}$ $\mathfrak{e}$ $\mathfrak{f}$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{h}$ $\mathfrak{i}$ $\mathfrak{j}$ $\mathfrak{k}$ $\mathfrak{l}$ $\mathfrak{m}$ $\mathfrak{n}$ $\mathfrak{o}$ $\mathfrak{p}$ $\mathfrak{q}$ $\mathfrak{r}$ $\mathfrak{s}$ $\mathfrak{t}$ $\mathfrak{u}$ $\mathfrak{v}$ $\mathfrak{w}$ $\mathfrak{x}$ $\mathfrak{y}$ $\mathfrak{z}$ Значки $\varnothing$ $\infty$ $\partial$ $\aleph$ $\mathfrak{c}$ $\ell$ $\hbar$ $\O$ $\bot$ $\top$ $\angle$ $\measuredangle$ $\sphericalangle$ $\frown$ $\smile$ $\vartriangle$ $\triangledown$ $\blacktriangle$ $\blacktriangledown$ $\triangleleft$ $\triangleright$ $\blacktriangleleft$ $\blacktriangleright$ $\triangle$ $\square$ $\blacksquare$ $\bigcirc$ $\star$ $\bigstar$ $\bullet$ $\diamond$ $\textasciicircum$ $\therefore$ $\because$ $\&$ $\%$ $\S$ $\P$ $\backslash$ Функции, операт. Станд. функц. $\max_{}$ $\min_{}$ $\sup_{}$ $\inf_{}$ $\Pr_{}$ $\operatorname{sign}$ $\deg$ $\arg$ $\operatorname{НОД}$ $\operatorname{НОК}$ $\operatorname{Im}$ $\operatorname{Re}$ $\dim$ $\ker$ $\hom$ $\operatorname{diag}$ $\operatorname{rank}$ $\det$ $\operatorname{tr}$ $\operatorname{spec}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{M}$ $\mathsf{D}$ $\Im$ $\Re$ \operatorname{} Элем. функц. $\exp$ $\log_{}$ $\ln$ $\lg$ $\sin$ $\cos$ $\tg$ $\ctg$ $\arcsin$ $\arccos$ $\arctg$ $\arcctg$ $\sh$ $\ch$ $\th$ $\cth$ Пределы $\lim_{n\to\infty}$ $\lim_{x\to }$ $lim_{}$ $\limsup_{n\to\infty}$ $\liminf_{n\to\infty}$ $\varlimsup_{n\to\infty}$ $\varliminf_{n\to\infty}$ $\to$ $\rightrightarrows$ $\infty$ Дифф. опер. $\mathrm{d}$ $\partial$ $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}$ $\frac{\partial }{\partial x}$ $\frac{\partial^2 }{\partial x^2}$ $\nabla$ $\Delta$ $\operatorname{grad}$ $\operatorname{div}$ $\operatorname{rot}$ Интегралы $\int$ $\int_{}^{}$ $\int\limits_{}^{}$ $\int_{}$ $\int\limits_{}$ $\oint$ $\oint_{}$ $\oint\limits_{}$ $\ointctrclockwise$ $\ointclockwise$ $\iint$ $\iint_{}$ $\iint\limits_{}$ $\oiint$ $\oiint_{}$ $\oiint\limits_{}$ $\varoiint$ $\sqiint$ $\iiint$ $\iiint_{}$ $\iiint\limits_{}$ $\dotsint$ $\dotsint_{}$ $\dotsint\limits_{}$ Сравнения $\equiv$ $\mod{}$ $\pmod{}$ $\pod{}$ Матрицы $\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}$ $\begin{pmatrix} & \\ & \end{pmatrix}$ $\begin{vmatrix} & \\ & \end{vmatrix}$ $\begin{Vmatrix} & \\ & \end{Vmatrix}$ $\begin{bmatrix} & \\ & \end{bmatrix}$ $\begin{Bmatrix} & \\ & \end{Bmatrix}$ $\left\{\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right.$ $\left[\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right.$ $\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right\}$ $\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right\|$ $\left(\begin{smallmatrix} & \\ & \end{smallmatrix}\right)$ $\binom{}{}$ $\tbinom{}{}$ Спец. блоки $\begin{cases} & \\ & \end{cases}$ $\begin{aligned} & \\ & \end{aligned}$ $\begin{align} & \tag{} \\ & \tag{} \end{align}$ $\begin{tikzpicture} \end{tikzpicture}$ $\ce{}$
Преобразовать url в ссылки Преобразовать $ в tex
* Сколько символов на картинке?
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.

∀ x, y, z

Определение показательной функции