Будем пользоваться следующими свойствами вещественных чисел, связанными с неравенствами:
Если
, то
;
Если
, то
;
;
.
Степень числа

с натуральным показателем

определяется индуктивно:
Степень числа

с целым показателем

определяется следующим образом:
Справедливы следующие свойства степени с целым показателем.
,
,
.
Если
, то
, в частности
,
Если
, то
, в частности
.
Если
, то
,
Если
, то
.
Если
, то
,
Если
, то
.
Покажем, что при

верно

и
.
Множество

не ограничено сверху. Действительно, допустим противное: множество

ограничено сверху. Тогда множество

имеет точную верхнюю границу
, в частности
. Поскольку

и
, то справедливо неравенство
. По свойству точной верхней границы найдется

такой, что
, откуда следует
, что невозможно. Заметим, что с учетом монотонности

по

можно утверждать, что
. Этим показано, что
.
Из доказанного также следует, что
, то есть
.
Далее покажем, что для всякого натурального

и

существует и единственное число

такое, что
, то есть однозначно определен корень
.
Этот факт может быть получен как следствие непрерывности степенной функции

на всяком отрезке, лежащем в

и теоремы о промежуточном значении. Непрерывность степенной функции следует из определения и арифметических свойств предела.
Действительно, пусть задан какой-то
. Если
, то будет верно
. Если
, то будет верно
. В обоих случаях можно применяя теорему о промежуточном значении можем заключить, что найдется

такой, что
.
Справедливы следующие свойства корня, которые следуют из свойств степеней.
,
.
Если
, то
,
Если
, то
.
Определим степень вещественного числа

с рациональным показателем
.
Пусть пока
.
Всякое рациональное число

может быть представлено в виде отношения
, где

– целое, а

– натуральное.
Положим по определению
.
Отображение

определено корректно в том смысле, что не зависит от представления рационального числа

в виде отношения
, а также оно инъективное.
.
Покажем, что справедливы следующие свойства.
,
.
Так как
, то по определению корня имеем
.
Так как
, то по определению корня имеем
.
Так как при

и

справедливы неравенства

и
, то для любого рационального

будем иметь
.
Из этого следует, что при

будем иметь
.
Действительно,
.
Покажем, что
.
Пусть задано произвольное
.
Так как
![$$\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{a}=1$$ $$\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{a}=1$$](/getteximg?%24%5Clim_%7Bn%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba%7D%3D1%24)
и
, то найдется номер

такой, что
.
Ввиду монотонности

по

можно заключить, что при

будет верно
.
Этим показано, что
.
Покажем, что
, то есть отображение

непрерывно.
.
Определим степень числа

с вещественным показателем
.
Известно, что всякое вещественное число

является пределом некоторой последовательности рациональных чисел
.
Положим по определению
.
Покажем, что этот предел всегда существует. Для этого достаточно показать, что последовательность

фундаментальная.
Последовательность

сходится, а значит она фундаментальная и ограниченная.
Так как

ограничена, то найдется число

такое, что для всех натуральных

верно
. Из этого следует, что последовательность

также ограничена, поскольку ввиду монотонности

для всех натуральных

верно
.
Из оценки

с учетом ограниченности последовательности

и того факта, что
, следует фундаментальность последовательности
.
Покажем, что отображение

определено корректно в том смысле, что предел

не зависит от выбора последовательности
.
Пусть

и
.
Из оценки

с учетом ограниченности последовательности

и того факта, что
, следует, что
, откуда с учетом существования предела

следует
.
Покажем, что
.
Пусть

и
.
Тогда
.
По определению
.
Покажем, что при

и

верно неравенство
.
Так как
, то найдется рациональное

такое, что при всех достаточно больших номерах

будет верно неравенство
. С учетом уже доказанной монотонности

по рациональному

можно заключить, что при всех достаточно больших номерах

будет верно неравенство
. Переходя к пределу, получим
.
Из предыдущих двух свойств следует, что при

будем иметь
.
Действительно,
.
Далее покажем, что
.
Доказательство проводится так же, как и для рационального показателя.
Пусть задано произвольное
.
Так как
![$$\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{a}=1$$ $$\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{a}=1$$](/getteximg?%24%5Clim_%7Bn%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba%7D%3D1%24)
и
, то найдется номер

такой, что
.
Ввиду монотонности

по

можно заключить, что при

будет верно
.
Покажем, что
, то есть отображение

непрерывно.
.
Теперь покажем, что
.
Докажем индукцией по натуральному
, что
.
При

равенство, очевидно, верно.
Если утверждение верно при
, то есть
.
Тогда
, то есть равенство верно при
.
Заметим, что
, поскольку
.
Теперь докажем равенство для отрицательных целых чисел.
Пусть
, где

– натуральное.
.
Итак, равенство

верно для всех целых
.
Поскольку при всех натуральных

верно

= a^x, то по определению
.
Итак, равенство

доказано для всех рациональных
.
Пусть
.
Тогда
.
.
В последнем равенстве использовали непрерывность отображения
.
При построении отображения

мы считали
. Но все построения можно было повторить и для
.
Так как при

и

справедливы неравенства

и
, то для любого рационального

будем иметь
.
Из этого будет следовать, что при

будем иметь
.
Из этого, в свою очередь, будет следовать, что при

и

верно неравенство
.
Из этого будет следовать, что при

верно
.
Итак, при

на множестве вещественных чисел мы построили вещественнозначную функцию
, которая действует из

в

и обладает следующими свойствами:
-
;
-
;
-
;
-
;
-
при
,
-
при
.
Функция

называется показательной функцией, число

называется основанием степени, а

— показателем степени.
Докажем, что функция

биективная.
Инъективность

немедленно следует из строгой монотонности.
Докажем сюръективность.
Если
, тогда

и
.
Если
, тогда

и
.
Из этого следует, что для любого вещественного

найдутся целые числа

такие, что
.
Так как
, то с учетом непрерывности функции

по теореме о промежуточном значении найдется

такое, что
.
Итак, доказано, что функция

биективная.