Может ли последовательность быть одновременно арифметической и геометрической прогрессией? Если ответ положительный, приведите пример; если нет, объясните почему.
Сформулируем вспомогательные утверждения.
Утв 1. Последовательность

является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый член последовательности, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних членов:
.
Утв 2. Числовая последовательность

ненулевых членов является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда модуль каждого её члена, начиная со второго, равен среднему геометрическому соседних членов:
,
или
.
Само решение.
Допустим, что последовательность

одновременно является арифметической и геометрической.
Тогда при

будем иметь
,
откуда
,
то есть
,
и, как следствие,
.
Из этого следует, что

при всех
.
Но тогда

при всех
.