Теорема о четырёх красках утверждает, что всякую расположенную на сфере карту можно раскрасить четырьмя красками так, чтобы любые две области, имеющие общий участок границы, были раскрашены в разные цвета. В виде проблемы она была сформулирована в 1852 году — и доказана в 1976-м лишь с помощью компьютера.
Такое решение не всем понравилось, и некоторые до сих пор ждут доказательства, которое можно проверить без компьютера. Другие (как великий математик Владимир Воеводский) — наоборот, стали развивать автоматическую проверку правильности доказательств на компьютере…
В курсе мы разберем доказательство теоремы о четырёх красках (это простая комбинаторика, доступная любому школьнику), а также обсудим сегодняшнее использование компьютера в математике (надо примерно знать, что такое компьютер).
Thomas Fernique, Ph.D. Université de Montpellier II 2007
Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
21-28 июля 2016 г.
Сколько нужно вопросов (с ответом “да” и “нет”), чтобы заведомо отгадать задуманное число от 1 до 1000? Можно ли обойтись меньшим числом вопросов? Если нет, то как это доказать? Сколько нужно взвешиваний на чашечных весах без гирь, чтобы наверняка выделить более лёгкую монету среди 1000 одинаковых на вид? С такого рода вопросов начинается наука о сложности алгоритмов, и очень скоро доходит до важных, но до сих пор не решённых задач.
В отличие от метрической теории алгоритмов, дескриптивная теория не занимается измерением ресурсов (таких как время, объём памяти), затрачиваемых при применении алгоритма к его возможным исходным данным (в другой терминологии — к его входам). Её интересует лишь, возможен алгоритм для решения данной задачи или нет. Начальные понятия дескриптивной теории алгоритмов суть: конструктивный обьект, алгоритм, число шагов алгоритма, вычислимая функция, перечислимое множество, разрешимое множество, сводимость нумераций, главная вычислимая нумерация, вычислимая операция.
Физики из Массачусетского технологического института и Инсбрукского университета создали квантовый компьютер, допускающий масштабирование при выполнении алгоритма Шора. Алгоритм Питера Шора — это квантовый алгоритм разложения чисел на простые множители, то есть факторизации. Суть алгоритма заключается в сведении задачи факторизации к поиску периода функции.
Математики оценивают количество различных шахматных партий величиной 10 в 120 степени – так называемое Число Шеннона (для сравнения – число атомов в изученной части вселенной — 10^80). Число различных позиций, возникающих на шахматной доске во время игры, несомненно, меньше, ведь в разных партиях могут возникать одинаковые позиции. Рассчитанное число позиций в шахматах около 10^43, включая некоторые невозможные позиции. Условно, с учетом легальности позиций, можно считать их количество приблизительно равным 10^40.