Бесконечное является одной из фундаментальных категорий человеческого мышления. Одной стороной проблемы бесконечного является вопрос о бесконечности мира (а также времени, истории, вещей). Что собой представляет бесконечность? Осознание и признание бесконечности. Эти вопросы обсуждают Сергей Бешенков — доктор физико-математических наук, Владимир Катасонов — доктор философских наук.


Бесконечное является одной из фундаментальных категорий человеческого мышления. Одной стороной проблемы бесконечного является вопрос о бесконечности мира (а также времени, истории, вещей). Другой — вопрос о бесконечности Бога.

То или иное отношение к этой проблеме может считаться характеристическим для различных культур и традиций. Освальд Шпенглер в «Закате Европы», как известно, различал Античную, Арабскую и Западную культуры не в последнюю очередь через отношение к бесконечному. Античную математику и философию характеризует тяга к мере и пределу. Совершенное мыслится античным человеком как конечное, а подлинная математика для него — арифметика и геометрия. Арабская математика — алгебра, математика отвлеченных чисел-знаков. Наконец математика Запада есть математика функций и математика бесконечного . Западная математика поэтому — это математический анализ (прежде всего исчисление бесконечно малых) и функциональная математика бесконечных чисел. Это наблюдение Шпенглера, конечно, отличается некоторым схематизмом, но тем не менее оно, безусловно, имеет смысл.

«Античная мысль в основном рассматривает бесконечное как неоформленное, как неставшее и, следовательно, несовершенное. В пифагорейском списке противоположностей бесконечное стоит на стороне дурного (злого). Бытие в античной мысли тесно связано с категорией меры и предела. Бесконечное в этом смысле выступает как бес-предельное, без-граничное, почти не существующее — mh on. Бесконечное есть нечто близкое к хаосу, почти тождественное с ним. Бесконечное сближается у Платона и Аристотеля с категорией материи как бесформенным и в силу этого как бы несуществующим, постигаемым лишь „незаконнорожденным умозаключением“ под-лежащим субстратом вещей» (В. Н. Катасонов).

Наиболее влиятельная в Античности и в Средние века точка зрения выражена Аристотелем. Аристотель признавал существование только потенциальной бесконечности, возможности безграничного изменения (например бесконечного прибавления единицы к любому числу, на чем основан натуральный числовой ряд: 1,2,3,4…). «Не существует актуально бесконечного тела, конечен и сам космос, не существует бесконечной последовательности причин (т.к. в противном случае, по Аристотелю, отсутствовала бы первоначальная истинная причина движения). Потенциальная бесконечность реализуется у Аристотеля для чисел в направлении возрастания — натуральный ряд, а для величин — в направлении убывания: потенциально бесконечное деление данного отрезка…Непосредственно зависящая от этого круга идей античная математика всегда мыслит свои „прямые“ и „плоскости“ как конечные, хотя и произвольно большие отрезки или куски плоскостей (в отличие от новоевропейской математики, в которой уже с XVII в. начинают рассматривать бесконечные прямые, например в проективной геометрии)».

Античные математики вообще стремились работать с конечными величинами и их отношениями. Когда были обнаружены известные проблемы, связанные, например, с несоизмеримостью катетов равнобедренного прямоугольного треугольника или диаметра круга и его окружности (знаменитая квадратура круга), которые указывали на существование иррациональных чисел (то есть таких, которые нельзя представить как отношение конечных чисел) античная математика подошла к своей границе.

В противовес античной математике математика Нового времени с самого начала стремилась иметь дело с бесконечными величинами. Более того в европейской математике можно выделить мощную традицию, настаивавшую на существовании актуальной бесконечности .

О «актуальной бесконечности» в отличии от «потенциальной» говорят когда бесконечное множество рассматривается как нечто целое, актуально данное, не связанное ни с каким процессом, как, например, в случае, если мы рассматриваем бесконечное множество как нечто целое, актуально данное, например, множество всех натуральных чисел или когда мы рассматриваем завершенный результат бесконечного деления отрезка на более мелкие части.

Аристотель как отмечено выше отрицал существование актуальной бесконечности как в Боге, так и мире. Бесконечное по Аристотелю — потенциально. Актуально-бесконечное в Божественном бытии начинает вводится в рассмотрение в рамках неоплатонической теологии, а также обсуждается у некоторых средневековых христианских богословов. В тварном мире, однако, и у них усматривается лишь конечное бытие или потенциальная бесконечность.

Попытки применить категорию актуально-бесконечного к бытию мира связаны с эпохой Возрождения, с ее тягой к антропоцентризму и даже пантеизму, стремлению к переносу божественных свойств на человека и мир. В XV в. кардинал Николай Кузанский развивает свое учение о совпадении абсолютного максимума и абсолютного минимума. «В рамках этого учения бесконечное, абсолютный максимум становится „адекватной мерой“ всех конечных вещей. Понимание соотношения бесконечного и конечного принципиально меняется по отношению к античному: если для последнего все конечное было актуальным, а бесконечное выступало лишь как потенциальное, то для Кузанца -наоборот — любая конечная вещь выступает как потенциальное ограничение актуально бесконечной божественной возможности-бытия (possest)…». Позже появляется, например, пантеистическая философия Джордано Бруно с его учением о бесконечности мира.

Новоевропейская математика с самого начала приступила к задачам, решать которые античные мыслители отказывались. Алгебраизация и арифметизация геометрии (начиная с аналитической геометрии и проективной геометрии), построение исчисления бесконечно малых требовала умения работать с бесконечностями. Среди великих математиков и философов XVII-XVIII веков наиболее радикальным защитником идей актуальной бесконечности был Лейбниц. По Лейбницу «каждая часть материи представляет собой актуально бесконечную совокупность монад. Устойчивость агрегатов этих монад связана с особыми принципами их подчинения и с законом предустановленной гармонии… иерархия вложенных друг в друга миров продолжается у Лейбница до бесконечности. Каждая монада, в свою очередь, представляет в своих восприятиях весь бесконечный Универсум, бесконечный как в пространстве, так и во времени… В математике же это приводит к особому пониманию структуры пространственного континуума и, наконец, к созданию дифференциального и интегрального исчисления».

Среди профессиональных математиков XIX века большинство, однако, отказывалось легализовывать идеи актуальной бесконечности. Некоторые великие математики (среди них О.Коши, Г.Гельмгольц и Л.Кронекер) были прямо против использования актуальной бесконечности.

Наиболее радикальным теоретиком актуальной бесконечности в XIX веке был Георг Кантор, создатель теории множеств. Теория множеств, которая может рассматриваться как своего рода фундамент современной математики, является по сути дела исчислением актуальных бесконечностей. В этой теории вводятся мощности актуально бесконечных множеств, операции над ними, строятся ряды бесконечных трансфинитных чисел и так далее. Теория множеств мыслилась Кантором как фундамент математики и одновременно мост, который соединяет ее с философией и теологией.

Уже при жизни Кантора (который впал в конце жизни в мистическую прелесть и психически заболел) были обнаружены так называемые «парадоксы теории множеств» — глубинные противоречия этой теории, связанные с понятием актуальной бесконечности. Обнаружение этих противоречий и крах канторовской программы обозначал начало активных дискуссий по проблемам оснований математики. В первой половине XX века было выдвинуто ряд логико-математических программ обоснования математики в центре которых лежали попытки решить проблемы возникшие в связи с теорией множеств вокруг вопроса о актуальной бесконечности.

Некоторые из этих программ, следуя по пути Кантора, стремились оправдать актуальную бесконечность, тем или иным способом снимая возникающие здесь противоречия. Другие направления, прежде всего интуиционизм, обоснованный выдающимся голландским математиком Лейтзеном Брауэром, отвергает теоретико-множественный подход к обоснованию математики и прежде всего использование актуальной бесконечности. Интуиционизм основан на использовании построений в отношении которых существует интуитивная убедительность в отношении их возможности. Образцом таких построений является интуиция бесконечно становящегося числового ряда (1, 2, 3 …), который обладает потенциальной, но не актуальной бесконечностью.

Интуиционизм позволил снять противоречия, но только ценой полной элиминации целого ряда конструкций, принятых в других теориях и часто ценой большого усложнения построений.

Если говорить о ситуации в области проблем оснований математики в целом, то надо сказать, что несмотря на то, что теоретические дискуссии сейчас вообще несколько затихли фундаментальный кризис до сих пор не преодолен и ситуация в значительной степени остается такой же как ее охарактеризовал знаменитый немецкий математик Герман Вейль в середине века: «…мы (математики — Д.С.) менее чем когда-либо уверены в незыблемости наиболее глубоких оснований (логики и) математики. Как и всех и всего в мире сегодня, у нас есть свой «кризис».

Библиография

Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., 1977.
Больцано Б. Парадоксы бесконечного. Одесса, 1911.
Вейль Г. Математическое мышление. М., 1989.
Гейтинг А. Интуиционизм. М., 1965.
Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Л., 1948.
Кантор Г. Труды по теории множеств. М., 1985.
Катасонов В. Н. Боровшийся с бесконечным. М., 1999.
Катасонов В. Н. Метафизическая математика XVII в. М., 1993.
Коши О. Семь лекций общей физики: С приложениями, составленными аббатом Муаньо. СПб., 1872.
Свящ. Павел Флоренский. О символах бесконечности (Очерк идей Г. Кантора)/Священник Павел Флоренский: Соч. в 4 т. М., 1994. Т.1.
Френкель А.-А., Бар-Хилел И. Основания теории множеств. М., 1966.

Тема № 43
Эфир 10.12.2001г.