Капитализация процентов и число e

Капитализация процентов — причисление процентов к сумме вклада, позволяет в дальнейшем осуществлять начисление процентов на проценты. Начисление процентов на проценты, используемое в некоторых видах банковских вкладов, или при наличии долга проценты, которые включаются в сумму основного долга, и на них также начисляются проценты.

Капитализация процентов может быть полугодовой, ежеквартальной, ежемесячной. Есть один тонкий момент: банки обязаны начислять проценты по вкладу каждый день, и расчет процентов по вкладу делается с точностью до дня. Но капитализация вклада (то есть добавление процентов к основной сумме вклада, на которую потом снова начисляются проценты) происходит в зависимости от того, что прописано в вашем договоре с банком. Чем чаще происходит капитализация вклада, тем быстрее он будет расти.

Математически капитализация процентов может быть и ежеминутной, ежесекундной. Формулы финансовой математики позволяют рассчитать сумму дохода и при непрерывной капитализации. Тогда вы узнаете предельную сумму дохода, которую можно получить при заданной процентной ставке.

Рассмотрим простой пример.

При вкладе размером $x$ по ставке $s$ % годовых, после первого года хранения общий капитал составит $x$ плюс $s$ % от $x$ , то есть возрастет в $(1+s/100)$ раза. Во второй год $s$ % рассчитывается уже не от $x$ , а от величины $x(1+s/100)$ . И, в свою очередь, данная величина за второй год увеличится также в $(1+s/100)$ раза. Значит, по сравнению с первичной суммой вклад, за два года капитал возрастет в $(1+s/100)^2$ раз. За три года — в $(1+s/100)^3$ раз. К концу $k$ -го года капитал вырастет до величины в $(1+s/100)^k$ раз больше первоначальной и составит $x(1+s/100)^k$ .

Теперь рассмотрим более общий случай.

Пусть процентная ставка составляет $s$ % годовых и капитализация процентов происходит $n$ раз за год. Для удобства положим $\alpha = s/100$ .

Тогда при вкладе размером $x$ за первый отрезок времени в $\frac{1}{n}$ года общий капитал составит $x\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)$ . При истечении второго отрезка времени в $\frac{1}{n}$ года капитал составит $x\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^2$ . При истечении $k$ -ого отрезка в $\frac{1}{n}$ года капитал составит $x\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^k$ . Таким образом, за год капитал составит $x\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^n$ .

Можно заметить, что $\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^n \to e^{\alpha}$ при $n \to \infty$ , причем эта последовательность возрастает. Из этого следует, что даже при неограниченном росте $n$ общий капитал за год не превысит $x e^{\alpha}$ . Для сравнения, без промежуточной капитализации процентов общий капитал к концу года имел бы размер $x (1+\alpha)$ .

Комментарии: 0

Похожее

Игры разума / A Beautiful Mind (2001)

От всемирной известности до греховных глубин — все это познал на своей шкуре Джон Форбс Нэш-младший. Математический гений, он на заре своей карьеры сделал титаническую работу в области теории игр, которая практически перевернула этот раздел математики и принесла ему международную известность. Однако буквально в то же время заносчивый и пользующийся успехом у женщин Нэш получает удар, который переворачивает уже его собственную жизнь — врачи ставят ему диагноз «параноидная шизофрения». Лишь после долгих лет борьбы ему удается победить свой недуг и наконец получить заслуженную Нобелевскую премию.
Биткоин для чайников

Кирилл Жовнер

Биткойн — пиринговая платёжная система, использующая одноимённую единицу для учёта операций и одноимённый протокол передачи данных. Для обеспечения функционирования и защиты системы используются криптографические методы.
Криптовалюты: золотая лихорадка цифрового века

Владимир Соколов, Алексей Семихатов

Вопрос науки

Как устроена технология блокчейн и каковы ее перспективы? Сколько криптовалют будет через 15 лет? Как, вообще, может существовать валюта, не привязанная к золотому запасу какой-либо страны? Об этом расскажет Владимир Соколов — заведующий лабораторией Международного института экономики и финансов НИУ ВШЭ.

∀ x, y, z

Капитализация процентов и число e

Теги

Похожее