Капитализация процентов — причисление процентов к сумме вклада, позволяет в дальнейшем осуществлять начисление процентов на проценты. Начисление процентов на проценты, используемое в некоторых видах банковских вкладов, или при наличии долга проценты, которые включаются в сумму основного долга, и на них также начисляются проценты.
Капитализация процентов может быть полугодовой, ежеквартальной, ежемесячной. Есть один тонкий момент: банки обязаны начислять проценты по вкладу каждый день, и расчет процентов по вкладу делается с точностью до дня. Но капитализация вклада (то есть добавление процентов к основной сумме вклада, на которую потом снова начисляются проценты) происходит в зависимости от того, что прописано в вашем договоре с банком. Чем чаще происходит капитализация вклада, тем быстрее он будет расти.
Математически капитализация процентов может быть и ежеминутной, ежесекундной. Формулы финансовой математики позволяют рассчитать сумму дохода и при непрерывной капитализации. Тогда вы узнаете предельную сумму дохода, которую можно получить при заданной процентной ставке.
Рассмотрим простой пример.
При вкладе размером
![$x$ $x$](/getteximg?x)
по ставке
% годовых, после первого года хранения общий капитал составит
![$x$ $x$](/getteximg?x)
плюс
% от
, то есть возрастет в
![$(1+s/100)$ $(1+s/100)$](/getteximg?%281%2Bs%2F100%29)
раза. Во второй год
% рассчитывается уже не от
, а от величины
. И, в свою очередь, данная величина за второй год увеличится также в
![$(1+s/100)$ $(1+s/100)$](/getteximg?%281%2Bs%2F100%29)
раза. Значит, по сравнению с первичной суммой вклад, за два года капитал возрастет в
![$(1+s/100)^2$ $(1+s/100)^2$](/getteximg?%281%2Bs%2F100%29%5E2)
раз. За три года — в
![$(1+s/100)^3$ $(1+s/100)^3$](/getteximg?%281%2Bs%2F100%29%5E3)
раз. К концу
-го года капитал вырастет до величины в
![$(1+s/100)^k$ $(1+s/100)^k$](/getteximg?%281%2Bs%2F100%29%5Ek)
раз больше первоначальной и составит
.
Теперь рассмотрим более общий случай.
Пусть процентная ставка составляет
% годовых и капитализация процентов происходит
![$n$ $n$](/getteximg?n)
раз за год. Для удобства положим
.
Тогда при вкладе размером
![$x$ $x$](/getteximg?x)
за первый отрезок времени в
![$\frac{1}{n}$ $\frac{1}{n}$](/getteximg?%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D)
года общий капитал составит
. При истечении второго отрезка времени в
![$\frac{1}{n}$ $\frac{1}{n}$](/getteximg?%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D)
года капитал составит
. При истечении
-ого отрезка в
![$\frac{1}{n}$ $\frac{1}{n}$](/getteximg?%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D)
года капитал составит
. Таким образом, за год капитал составит
.
Можно заметить, что
![$\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^n \to e^{\alpha}$ $\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^n \to e^{\alpha}$](/getteximg?%5Cleft%281%2B%5Cfrac%7B%5Calpha%7D%7Bn%7D%5Cright%29%5En%20%5Cto%20e%5E%7B%5Calpha%7D)
при
, причем эта последовательность возрастает. Из этого следует, что даже при неограниченном росте
![$n$ $n$](/getteximg?n)
общий капитал за год не превысит
. Для сравнения, без промежуточной капитализации процентов общий капитал к концу года имел бы размер
.