x, y, z

Математический маятник

# 7 Мар 2016 15:06:14
Evgeniy


Математический маятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения. Период малых собственных колебаний математического маятника длины $L$ неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения $g$ равен

$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

и не зависит от амплитуды колебаний и массы маятника.

Плоский математический маятник со стержнем — система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на растяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. Пример школьной задачи, в которой важен переход от одной к двум степеням свободы.

Математический маятник

При малых колебаниях физический маятник колеблется так же, как математический с приведённой длиной.

Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида

$\ddot x + \omega^2 \sin{x} = 0$,

где $\omega$ ― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция $x(t)$ ― это угол отклонения маятника в момент $t$ от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах; $\omega=\sqrt{g/L}$, где $L$ ― длина подвеса, $g$ ― ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия (т. н. гармоническое уравнение) имеет вид:

$\ddot x + \omega^2x = 0$.

Маятник, совершающий малые колебания, движется по синусоиде. Поскольку уравнение движения является обыкновенным ДУ второго порядка, для определения закона движения маятника необходимо задать два начальных условия — координату и скорость, из которых определяются две независимых константы:

$x = A \sin (\theta_0 + \omega t)$,

где $A$ — амплитуда колебаний маятника, $\theta_0$ — начальная фаза колебаний, $\omega$ — циклическая частота, которая определяется из уравнения движения. Движение, совершаемое маятником, называется гармоническими колебаниями.

Несмотря на свою простоту, математический маятник связан с рядом интересных явлений.

Если точка подвеса не неподвижна, а совершает колебания, то у маятника может появиться новое положение равновесия. Если точка подвеса достаточно быстро колеблется вверх-вниз, то маятник приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». Такая система называется маятником Капицы.

В условиях вращения Земли при достаточно большой нити подвеса плоскость, в которой маятник совершает колебания, будет медленно поворачиваться относительно земной поверхности в сторону, противоположную направлению вращения Земли (маятник Фуко).
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

* Сколько символов на картинке?
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.