Какую из моделей взаимодействия двух видов описывает система однородных дифференциальных уравнений?

Сообщения: 4 🔎

# 8 Янв 2016 02:54:26
Марья

Какую из моделей взаимодействия двух видов описывает система однородных дифференциальных уравнений: модель межвидовой конкуренции, модель «хищник-жертва», модель симбиоза.

Найдите численность обоих видов при заданных начальных размерах популяций $x(0)=1000$ и $y(0)=2000$ особей и заданных параметрах $a,b,c,d$ , а также предельные численности популяций. В модели «хищник-жертва» определите время вымирания «жертвы».

Вид системы:

$\left\{\begin{matrix} x'(t) = ax(t)+by(t)\\ y'(t) = cx(t)+dy(t) \end{matrix}\right.$

a) $a=7;\ b=-1;\ c=1;\ d=7$ ;
б) $a=2;\ b=1;\ c=-1;\ d=4$ ;
в) $a=-1;\ b=3;\ c=1;\ d=-3$ .

Цитировать

# 9 Янв 2016 12:37:18
Math

a)

$\left\{\begin{array}{l} {x'=7x-y} \\ {y'=-x+7y} \end{array}\right.$

Это модель межвидовой конкуренции, так как скорость роста популяции каждого вида возрастает при росте размера своей популяции и убывает при росте размера другой популяции.

Решим систему.

Составляем характеристическое уравнение:

$\chi (\lambda )=\left|\begin{array}{cc} {7-\lambda } & {-1} \\ {-1} & {7-\lambda } \end{array}\right|=(7-\lambda )(7-\lambda )-1=\lambda ^{2} -14\lambda +48=0.$

Корни характеристического уравнения: $\lambda _{1} =6,\ \lambda _{2} =8$ .

Найдем решение соответствующее характеристическому числу $\lambda _{1} =6$ .

$\left\{\begin{array}{l} {(7-\lambda _{1} )\gamma _{1} -\gamma {}_{2} =0} \\ {-\gamma _{1} +(7-\lambda _{1} )\gamma _{2} =0} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {\gamma _{1} -\gamma {}_{2} =0} \\ {-\gamma _{1} +\gamma _{2} =0} \end{array}\right. \Rightarrow \gamma _{1} =1,\ \gamma _{2} =1.$

Решение системы, соответствующее характеристическому значению $\lambda _{1} =6$ :

$\left\{\begin{array}{l} {x(t)=\gamma _{1} e^{6t} =e^{6t} } \\ {y(t)=\gamma _{2} e^{6t} =e^{6t} } \end{array}\right.$

Найдем решение соответствующее характеристическому числу $\lambda _{2} =8$ .

$\left\{\begin{array}{l} {(7-\lambda _{2} )\gamma _{1} -\gamma _{2} =0} \\ {-\gamma _{1} +(7-\lambda _{2} )\gamma _{2} =0} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {-\gamma _{1} -\gamma {}_{2} =0} \\ {-\gamma _{1} -\gamma _{2} =0} \end{array}\right. \Rightarrow \gamma _{1} =1,\ \gamma _{2} =-1.$

Решение системы, соответствующее характеристическому значению $\lambda _{2} =8$ :

$\left\{\begin{array}{l} {x(t)=\gamma _{1} e^{8t} =e^{8t} } \\ {y(t)=\gamma _{2} e^{8t} =-e^{8t} } \end{array}\right.$

Запишем общее решение системы:

$\left\{\begin{array}{l} {x(t)=C_{1} e^{6t} +C_{2} e^{8t} } \\ {y(t)=C_{1} e^{6t} -C_{2} e^{8t} } \end{array}\right.$

Найдем частное решение из условия $x(0)=1000,\ y(0)=2000$ .

$\left\{\begin{array}{l} {x(0)=C_{1} +C_{2} =1000} \\ {y(0)=C_{1} -C_{2} =2000} \end{array}\right. \Rightarrow C_{1} =1500,\ C_{2} =-500.$

Частное решение системы:

$\left\{\begin{array}{l} {x(t)=1500e^{6t} -500e^{8t} } \\ {y(t)=1500e^{6t} +500e^{8t} } \end{array}\right.$

$x(t)=1500e^{6t} - 500e^{8t} = 500e^{6t}\left( 3 - e^{2t} \right) \to -\infty$ при $t \to +\infty$ .

Но по условию задачи $x(t)$ не может быть отрицательным, поэтому крайним значениям будет $x(t)=0$ , которое достигается при $t_0=\frac{1}{2}\ln 3$ .

$y(t)=1500e^{6t} +500e^{8t} \to +\infty$ при $t \to +\infty$ .

Крайним для $y(t)$ будет значение $y(t_0) = 81000$ .

Иными словами, первый вид вымрет, а численность второго к этому моменту достигнет $81000$ особей.

Цитировать

# 9 Янв 2016 12:48:29
Math

б)

$\left\{\begin{array}{l} {x'=2x+y} \\ {y'=-x+4y} \end{array}\right.$

Это модель «хищник-жертва», так как скорость роста популяции первого вида (хищник) возрастает при росте размера своей популяции и возрастает при росте размера популяции второго вида (жертва), а скорость роста популяции второго вида возрастает при росте размера своей популяции и убывает при росте размера популяции первого вида.

Решим систему.

Составляем характеристическое уравнение:

$\chi (\lambda )=\left|\begin{array}{cc} {2-\lambda } & {1} \\ {-1} & {4-\lambda } \end{array}\right|=(2-\lambda )(4-\lambda )+1=\lambda ^{2} -6\lambda +9=0.$

Корни характеристического уравнения: $\lambda _{1} = \lambda _{2} = 3$ .

Решения, соответствующие кратному характеристическому значению $\lambda _{1} = \lambda _{2} = 3$ , представляются в виде:

$\left\{\begin{array}{l} {x(t)=(\alpha _{1} + \beta _{1} t)e^{3t} } \\ {y(t)=(\alpha _{2} + \beta _{2} t)e^{3t} } \end{array}\right.$

Подставим эти выражения в первое уравнение исходной системы:

$\beta _{1} e^{3t} + (\alpha _{1} +\beta _{1} t)3e^{3t} = 2(\alpha _{1} + \beta _{1} t)e^{3t} + (\alpha _{2} + \beta _{2} t)e^{3t} \Rightarrow \\ \Rightarrow \beta _{1} + (\alpha _{1} +\beta _{1} t)3 = 2(\alpha _{1} + \beta _{1} t)+(\alpha _{2} + \beta _{2} t).$

Приравнивая коэффициенты при разных степенях $t$ , получим систему:

$\left\{\begin{array}{l} { \beta _{2} = \beta _{1} } \\ { \alpha _{2} = \alpha _{1} + \beta _{1} } \end{array}\right.$

Решение этой системы можно записать параметрическом в виде: $\alpha _{1} =C_{1},\ \beta _{1} =C_{2}$ .

Следовательно, общее решение имеет вид:

$\left\{\begin{array}{l} {x(t)=(C_{1} + C_{2} t)e^{3t} } \\ {y(t)=(C_{1} +C_{2} + C_{1} t)e^{3t} } \end{array}\right.$

Найдем частное решение из условия $x(0)=1000,\ y(0)=2000.$

$\left\{\begin{array}{l} {x(0)=C_{1} =1000} \\ {y(0)=C_{1} +C_{2} =2000} \end{array}\right. \Rightarrow C_{1} =1000,\ C_{2} =1000.$

Частное решение:

$\left\{\begin{array}{l} {x(t)=1000(1+t)e^{3t} } \\ {y(t)=1000(2+t)e^{3t} } \end{array}\right.$

$x(t) \to +\infty$ при $t \to +\infty$ .

$y(t) \to +\infty$ при $t \to +\infty$ .

Численность обоих видов со временем растет неограниченно.

Цитировать

# 9 Янв 2016 13:02:48
Math

в)

$\left\{\begin{array}{l} {x'=-x+3y} \\ {y'=x-3y} \end{array}\right.$

Это модель симбиоза, так как скорость роста популяции видов убывает при росте размера своей популяции и возрастает при росте размера популяции другого вида.

Решим систему.

Составляем характеристическое уравнение:

$\chi (\lambda )=\left|\begin{array}{cc} {-1-\lambda } & {3} \\ {1} & {-3-\lambda } \end{array}\right|=(-1-\lambda )(-3-\lambda )-3 = \lambda ^{2} + 4\lambda =0.$

Корни характеристического уравнения: $\lambda _{1} =0,\ \lambda _{2} =-4$ .

Найдем решение, соответствующее характеристическому числу $\lambda _{1} =0$ .

$\left\{\begin{array}{l} {(-1-\lambda _{1} )\gamma _{1} +3\gamma _{2} =0} \\ {\gamma _{1} +(-3-\lambda _{1} )\gamma _{2} =0} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {-\gamma _{1} +3\gamma _{2} =0} \\ {\gamma _{1} -3\gamma _{2} =0} \end{array}\right. \Rightarrow \gamma _{1} =3,\ \gamma _{2} =-1.$

Решение системы, соответствующее характеристическому значению $\lambda _{1} =0$ :

$\left\{\begin{array}{l} {x(t)=\gamma _{1} e^{0} =3} \\ {y(t)=\gamma _{2} e^{0} =-1} \end{array}\right.$

Найдем решение, соответствующее характеристическому числу $\lambda _{2} = -4$ .

$\left\{\begin{array}{l} {(-1-\lambda _{2} )\gamma _{1} +3\gamma _{2} =0} \\ {\gamma _{1} +(-3-\lambda _{2} )\gamma _{2} =0} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {3\gamma _{1} +3\gamma _{2} =0} \\ {\gamma _{1} +\gamma _{2} =0} \end{array}\right. \Rightarrow \gamma _{1} =1,\ \gamma _{2} =-1.$

Решение системы, соответствующее характеристическому значению $\lambda _{1} = -4$ :

$\left\{\begin{array}{l} {x(t)=\gamma _{1} e^{-4t} =e^{-4t} } \\ {y(t)=\gamma _{2} e^{-4t} =-e^{-4t} } \end{array}\right.$

Общее решение системы:

$\left\{\begin{array}{l} {x(t)=3C_{1}+ C_{2} e^{-4t}} \\ {y(t)=-C_{1} - C_{2} e^{-4t}} \end{array}\right.$

Найдем частное решение из условия $x(0)=1000,\ y(0)=2000$ .

$\left\{\begin{array}{l} {x(0)=3C_{1}+C_{2} =1000} \\ {y(0)=-C_{1} -C_{2} =2000} \end{array}\right. \Rightarrow C_{1} =1500,\ C_{2} =-3500.$

Частное решение:

$\left\{\begin{array}{l} {x(t)=4500-3500e^{-4t} } \\ {y(t)=-1500+3500e^{-4t} } \end{array}\right.$

$y(t) \to -1500$ при $t \to +\infty$ .

Но по условию задачи $y(t)$ не может быть отрицательным, поэтому крайним значениям будет $y(t)=0$ , которое достигается при $t_0=-4\ln \frac{3}{7}$ .

$x(t) \to 4500$ при $t \to +\infty$ .

Крайним для $x(t)$ будет значение $x(t_0) = 3000$ .

Второй вид вымрет, численность первого к этому моменту будет составлять $3000$ особей.

Цитировать

Сообщения: 4 🔎


*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted] formulas > Формат Шрифт $\mathit{}$ $\mathbf{}$ $\mathrm{}$ $\mathsf{}$ $\mathfrak{}$ $\mathbb{}$ $\mathcal{}$ $\mathscr{}$ Размер $\tiny Aa$ $\scriptsize Aa$ $\footnotesize Aa$ $\small Aa$ $\normalsize Aa$ $\large Aa$ $\Large Aa$ $\LARGE Aa$ $\huge Aa$ $\Huge Aa$ Цвет ${\color{Red} }$ ${\color{DarkRed} }$ ${\color{BrickRed} }$ ${\color{Magenta} }$ ${\color{VioletRed} }$ ${\color{Yellow} }$ ${\color{Orange} }$ ${\color{DarkOrange} }$ ${\color{Brown} }$ ${\color{Sepia} }$ ${\color{Green} }$ ${\color{DarkGreen} }$ ${\color{ForestGreen} }$ ${\color{Teal} }$ ${\color{Emerald} }$ ${\color{Blue} }$ ${\color{DarkBlue} }$ ${\color{RoyalBlue} }$ ${\color{BlueViolet} }$ ${\color{Purple} }$ ${\color{Gray} }$ ${\color{Plum} }$ ${\color{Cyan} }$ Стиль \text{} $\tstyle$ $\dstyle$ Дроби, корни $\frac{}{}$ $\tfrac{}{}$ $\dfrac{}{}$ $\cfrac{}{}$ $\over$ $\atop$ $\sqrt{}$ $\sqrt[]{}$ $\binom{}{}$ $\tbinom{}{}$ Скобки $()$ $\{\}$ $[]$ $\|\|$ $\\|\\|$ $\langle \rangle$ $\left( \right)$ $\left\{ \right\}$ $\left[ \right]$ $\left\| \right\|$ $\left\\| \right\\|$ $\left\langle \right\rangle$ $\left( \right.$ $\left. \right)$ $\left\{ \right.$ $\left. \right\}$ $\left[ \right.;$ $\left. \right]$ $\left\| \right.;$ $\left. \right\|$ Декор., индексы $^{}$ $_{}$ $^{}_{}$ ${}^{}$ ${}_{}$ ${}^{}_{}$ $\leftidx{}{}{}$ $\ltrans{}$ $\vec{}$ $\bar{}$ $\tilde{}$ $\hat{}$ $\dot{}$ $\ddot{}$ $\dddot{}$ $^{\circ}$ $\overset{\circ}{}$ $\overset{\frown}{}$ $\overrightarrow{}$ $\overleftarrow{}$ $\overline{}$ $\underline{}$ $\widetilde{}$ $\widehat{}$ $\overbrace{}^{}$ $\underbrace{}_{}$ $\overset{}{}$ $\underset{}{}$ $\left. \right\|_{}^{}$ $\left. \right\|_{}$ $\not{}$ $\cancel{}$ $\bcancel{}$ $\xcancel{}$ Пробелы, разд. $\!$ $x y$ $\,$ $\;$ $\$ $\quad$ $\qquad$ $\cdot$ $\dots$ $\cdots$ $\ddots$ $\vdots$ $\colon$ $\mid$ \phantom{} \mathstrut{} Квант., операц. $\forall$ $\exists$ $\exists!$ $\nexists$ $\lnot$ $\land$ $\lor$ $\cup$ $\cap$ $\sqcup$ $\sqcap$ $\setminus$ $\bigtriangleup$ $\uplus$ $\cdot$ $\circ$ $\times$ $\pm$ $\mp$ $\dotplus$ $\div$ $/$ $\neg$ $\wedge$ $\vee$ $\barwedge$ $\veebar$ $\curlywedge$ $\curlyvee$ $\textasciicircum$ $\oplus$ $\ominus$ $\otimes$ $\oslash$ $\odot$ $\circledcirc$ $\circledast$ Отношения $\in$ $\notin$ $\ni$ $\not\ni$ $\subset$ $\supset$ $\not\subset$ $\not\supset$ $\subseteq$ $\supseteq$ $\nsubseteq$ $\nsupseteq$ $\subsetneq$ $\supsetneq$ $\subsetneqq$ $\supsetneqq$ $\neq$ $\approx$ $\equiv$ $\not\equiv$ $\sim$ $\nsim$ $\cong$ $\ncong$ $\leqslant$ $\geqslant$ $\nleqslant$ $\ngeqslant$ $\le$ $\ge$ $\nleq$ $\ngeq$ $\nless$ $\ngtr$ $\lneq$ $\gneq$ $\lneqq$ $\gneqq$ $\ll$ $\gg$ $\prec$ $\succ$ $\nprec$ $\nsucc$ $\preceq$ $\succeq$ $\npreceq$ $\nsucceq$ $:=$ $\overset{\mathrm{def}}{=}$ $\triangleq$ $\models$ $\vdash$ $\dashv$ $\mid$ $\nmid$ $\mathop{\vdots}$ $\mathop{\not\vdots}$ $\parallel$ $\nparallel$ $\perp$ $\not\perp$ Большие операт. $\sum_{}^{}$ $\sum_{}$ $\prod_{}^{}$ $\prod_{}$ $\bigcup_{}^{}$ $\bigcup_{}$ $\bigcap_{}^{}$ $\bigcap_{}$ $\bigsqcup_{}^{}$ $\biguplus_{}^{}$ $\bigvee_{}^{}$ $\bigwedge_{}^{}$ $\bigoplus_{}^{}$ $\bigotimes_{}^{}$ $\bigodot_{}^{}$ Стрелки $\to$ $\mapsto$ $\rightarrow$ $\leftarrow$ $\leftrightarrow$ $\nrightarrow$ $\nleftarrow$ $\nleftrightarrow$ $\Rightarrow$ $\Leftarrow$ $\Leftrightarrow$ $\nRightarrow$ $\nLeftarrow$ $\nLeftrightarrow$ $\Uparrow$ $\Downarrow$ $\Updownarrow$ $\rightrightarrows$ $\longmapsto$ $\longrightarrow$ $\longleftarrow$ $\longleftrightarrow$ $\uparrow$ $\downarrow$ $\updownarrow$ $\Longrightarrow$ $\Longleftarrow$ $\Longleftrightarrow$ $\implies$ $\iff$ $\rightleftarrows$ $\nearrow$ $\swarrow$ $\nwarrow$ $\searrow$ $\circlearrowleft$ $\circlearrowright$ $\curvearrowleft$ $\curvearrowright$ $\xrightarrow[]{}$ $\xleftarrow[]{}$ Буквы, значки Греческие $\Gamma$ $\Delta$ $\Theta$ $\Lambda$ $\Xi$ $\Pi$ $\Sigma$ $\Upsilon$ $\Phi$ $\Psi$ $\Omega$ $\digamma$ $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ $\delta$ $\epsilon$ $\varepsilon$ $\zeta$ $\eta$ $\theta$ $\vartheta$ $\iota$ $\kappa$ $\varkappa$ $\lambda$ $\mu$ $\nu$ $\xi$ $\pi$ $\varpi$ $\rho$ $\varrho$ $\sigma$ $\varsigma$ $\tau$ $\upsilon$ $\phi$ $\varphi$ $\chi$ $\psi$ $\omega$ Резные $\mathbb{A}$ $\mathbb{B}$ $\mathbb{C}$ $\mathbb{D}$ $\mathbb{E}$ $\mathbb{F}$ $\mathbb{G}$ $\mathbb{H}$ $\mathbb{I}$ $\mathbb{J}$ $\mathbb{K}$ $\mathbb{L}$ $\mathbb{M}$ $\mathbb{N}$ $\mathbb{O}$ $\mathbb{P}$ $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{S}$ $\mathbb{T}$ $\mathbb{U}$ $\mathbb{V}$ $\mathbb{W}$ $\mathbb{X}$ $\mathbb{Y}$ $\mathbb{Z}$ Калиграф. $\mathcal{A}$ $\mathcal{B}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{D}$ $\mathcal{E}$ $\mathcal{F}$ $\mathcal{G}$ $\mathcal{H}$ $\mathcal{I}$ $\mathcal{J}$ $\mathcal{K}$ $\mathcal{L}$ $\mathcal{M}$ $\mathcal{N}$ $\mathcal{O}$ $\mathcal{P}$ $\mathcal{Q}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{S}$ $\mathcal{T}$ $\mathcal{U}$ $\mathcal{V}$ $\mathcal{W}$ $\mathcal{X}$ $\mathcal{Y}$ $\mathcal{Z}$ Рукописные $\mathscr{A}$ $\mathscr{B}$ $\mathscr{C}$ $\mathscr{D}$ $\mathscr{E}$ $\mathscr{F}$ $\mathscr{G}$ $\mathscr{H}$ $\mathscr{I}$ $\mathscr{J}$ $\mathscr{K}$ $\mathscr{L}$ $\mathscr{M}$ $\mathscr{N}$ $\mathscr{O}$ $\mathscr{P}$ $\mathscr{Q}$ $\mathscr{R}$ $\mathscr{S}$ $\mathscr{T}$ $\mathscr{U}$ $\mathscr{V}$ $\mathscr{W}$ $\mathscr{X}$ $\mathscr{Y}$ $\mathscr{Z}$ Готические $\mathfrak{A}$ $\mathfrak{B}$ $\mathfrak{C}$ $\mathfrak{D}$ $\mathfrak{E}$ $\mathfrak{F}$ $\mathfrak{G}$ $\mathfrak{H}$ $\mathfrak{I}$ $\mathfrak{J}$ $\mathfrak{K}$ $\mathfrak{L}$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{N}$ $\mathfrak{O}$ $\mathfrak{P}$ $\mathfrak{Q}$ $\mathfrak{R}$ $\mathfrak{S}$ $\mathfrak{T}$ $\mathfrak{U}$ $\mathfrak{V}$ $\mathfrak{W}$ $\mathfrak{X}$ $\mathfrak{Y}$ $\mathfrak{Z}$ $\mathfrak{a}$ $\mathfrak{b}$ $\mathfrak{c}$ $\mathfrak{d}$ $\mathfrak{e}$ $\mathfrak{f}$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{h}$ $\mathfrak{i}$ $\mathfrak{j}$ $\mathfrak{k}$ $\mathfrak{l}$ $\mathfrak{m}$ $\mathfrak{n}$ $\mathfrak{o}$ $\mathfrak{p}$ $\mathfrak{q}$ $\mathfrak{r}$ $\mathfrak{s}$ $\mathfrak{t}$ $\mathfrak{u}$ $\mathfrak{v}$ $\mathfrak{w}$ $\mathfrak{x}$ $\mathfrak{y}$ $\mathfrak{z}$ Значки $\varnothing$ $\infty$ $\partial$ $\aleph$ $\mathfrak{c}$ $\ell$ $\hbar$ $\O$ $\bot$ $\top$ $\angle$ $\measuredangle$ $\sphericalangle$ $\frown$ $\smile$ $\vartriangle$ $\triangledown$ $\blacktriangle$ $\blacktriangledown$ $\triangleleft$ $\triangleright$ $\blacktriangleleft$ $\blacktriangleright$ $\triangle$ $\square$ $\blacksquare$ $\bigcirc$ $\star$ $\bigstar$ $\bullet$ $\diamond$ $\textasciicircum$ $\therefore$ $\because$ $\&$ $\%$ $\S$ $\P$ $\backslash$ Функции, операт. Станд. функц. $\max_{}$ $\min_{}$ $\sup_{}$ $\inf_{}$ $\Pr_{}$ $\operatorname{sign}$ $\deg$ $\arg$ $\operatorname{НОД}$ $\operatorname{НОК}$ $\operatorname{Im}$ $\operatorname{Re}$ $\dim$ $\ker$ $\hom$ $\operatorname{diag}$ $\operatorname{rank}$ $\det$ $\operatorname{tr}$ $\operatorname{spec}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{M}$ $\mathsf{D}$ $\Im$ $\Re$ \operatorname{} Элем. функц. $\exp$ $\log_{}$ $\ln$ $\lg$ $\sin$ $\cos$ $\tg$ $\ctg$ $\arcsin$ $\arccos$ $\arctg$ $\arcctg$ $\sh$ $\ch$ $\th$ $\cth$ Пределы $\lim_{n\to\infty}$ $\lim_{x\to }$ $lim_{}$ $\limsup_{n\to\infty}$ $\liminf_{n\to\infty}$ $\varlimsup_{n\to\infty}$ $\varliminf_{n\to\infty}$ $\to$ $\rightrightarrows$ $\infty$ Дифф. опер. $\mathrm{d}$ $\partial$ $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}$ $\frac{\partial }{\partial x}$ $\frac{\partial^2 }{\partial x^2}$ $\nabla$ $\Delta$ $\operatorname{grad}$ $\operatorname{div}$ $\operatorname{rot}$ Интегралы $\int$ $\int_{}^{}$ $\int\limits_{}^{}$ $\int_{}$ $\int\limits_{}$ $\oint$ $\oint_{}$ $\oint\limits_{}$ $\ointctrclockwise$ $\ointclockwise$ $\iint$ $\iint_{}$ $\iint\limits_{}$ $\oiint$ $\oiint_{}$ $\oiint\limits_{}$ $\varoiint$ $\sqiint$ $\iiint$ $\iiint_{}$ $\iiint\limits_{}$ $\dotsint$ $\dotsint_{}$ $\dotsint\limits_{}$ Сравнения $\equiv$ $\mod{}$ $\pmod{}$ $\pod{}$ Матрицы $\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}$ $\begin{pmatrix} & \\ & \end{pmatrix}$ $\begin{vmatrix} & \\ & \end{vmatrix}$ $\begin{Vmatrix} & \\ & \end{Vmatrix}$ $\begin{bmatrix} & \\ & \end{bmatrix}$ $\begin{Bmatrix} & \\ & \end{Bmatrix}$ $\left\{\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right.$ $\left[\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right.$ $\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right\}$ $\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right\|$ $\left(\begin{smallmatrix} & \\ & \end{smallmatrix}\right)$ $\binom{}{}$ $\tbinom{}{}$ Спец. блоки $\begin{cases} & \\ & \end{cases}$ $\begin{aligned} & \\ & \end{aligned}$ $\begin{align} & \tag{} \\ & \tag{} \end{align}$ $\begin{tikzpicture} \end{tikzpicture}$ $\ce{}$
Преобразовать url в ссылки Преобразовать $ в tex
* Сколько символов на картинке?
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.

∀ x, y, z

Какую из моделей взаимодействия двух видов описывает система однородных дифференциальных уравнений?