Таблицы сложения и умножения остатков. Многочлены с коэффициентами в остатках. Теорема Безу над любой системой остатков. Парадоксы числа корней. Таблицы умножения по простому модулю. Простейшие конечные поля. Основная теорема о корнях многочленов с коэффициентами в поле. Поля из p элементов. Теоретико-групповые методы: теорема Лагранжа и Малая теорема Ферма. Бином Ньютона, автоморфизм возведения в p-ю степень и второе доказательство теоремы Ферма. Теорема Вильсона. Конечные поля из p^r элементов, мультипликативная группа и структура их вложимости друг в друга. Единственность конечного поля.

Теория Галуа — раздел алгебры, позволяющий переформулировать определенные вопросы теории полей на языке теории групп, делая их в некотором смысле более простыми. Теория Галуа даёт единый элегантный подход к решению классических задач: какие фигуры можно построить циркулем и линейкой? какие алгебраические уравнения разрешимы с помощью стандартных алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение корня)?

В последние годы во всем мире ученые активно заняты расчетами вероятности случайных событий. Эта область математики буквально переживает бум. Математики строят графики и пишут формулы для расчета вероятности случайных событий. Для чего? Что это дает науке и какой от этого прок простому обывателю? Какие выводы можно сделать на основе этих вычислений? Что они смогли выяснить, помимо этого? Узнаем на наглядных примерах. Гость программы: Сергей Константинович Нечаев — доктор ф-м наук, в.н.с. Лаботратории математической физики Физического института им. П.Н. Лебедева РАН, директор российско-французского Междисциплинарного научного центра Понселе.

Наша Вселенная описывается при помощи шести космологических параметров. По сути, зная эти параметры, можно создать Вселенную в домашних условиях.

Ученые объявили об обнаружении гравитационных волн от слияния двух черных дыр. О том, что такое черные дыры и каким образом они испускают гравитационные волны, рассказывает Сергей Попов, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник ГАИШ МГУ. Ведет программу Алексей Семихатов, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Физического института им. Лебедева РАН.

Как устроена технология блокчейн и каковы ее перспективы? Сколько криптовалют будет через 15 лет? Как, вообще, может существовать валюта, не привязанная к золотому запасу какой-либо страны? Об этом расскажет Владимир Соколов — заведующий лабораторией Международного института экономики и финансов НИУ ВШЭ.

Мозг человека реагирует на предложение о работе с низкой зарплатой так же, как на боль. Многие феномены, которые характеризуют экономическое поведение людей, ученые нашли у обезьян. Сейчас специалисты могут наблюдать за работой живого мозга и распознавать мысли человека. Как они это делают?

В семнадцать лет Галуа многое сделал для создания раздела математики, который ныне даёт возможность проникнуть в сущность таких различных областей, как теория чисел, кристаллография, физика элементарных частиц и возможные позиции кубика Рубика. Известно и то, что в том же возрасте Галуа вторично провалился на экзамене по математике при поступлении в Эколь Политекник (Политехнический институт). Ему пришлось поступить в Эколь Нормаль (Высшую педагогическую школу), но в девятнадцать лет он был оттуда исключён, дважды арестован и заключён в тюрьму за политическую деятельность. Незадолго до дуэли он пережил разочарование в любви; в одном из своих последних писем он, по-видимому, связывает это с дуэлью. «Я умираю, — писал он, — жертвой подлой кокетки».

Предполагается прочесть четыре лекции. Первые две будут популярны и общепонятны, а третья и четвёртая будут содержать довольно поверхностные обзоры некоторых перспективных направлений современной математики. 1. О геометрии над конечными полями. 2. Группы Шевалле и группы перестановок. 3. Линейная алгебра над F1 и гомотопическая топология. 4. Разное. Обобщённые кольца Дурова и F∅, F±1, F∞√1. Анализ на множестве корней из единицы (по Хабиро, Концевичу, Манину). О геометрии Аракелова. О тропической математике.

Вводный миникурс по алгебре, ориентированный на студентов-первокурсников, но всем остальным может быть интересно тоже.