Гипотеза Била — гипотеза в теории чисел, обобщение великой теоремы Ферма. Предложена в 1993 году техасским миллиардером и математиком-любителем Эндрю Билом (англ. Andrew Beal), который учредил премию за её доказательство или опровержение в 100 тыс. долларов, а в 2013 году увеличил эту премию до 1 млн долларов.

Подмножество H группы G называется подгруппой, если оно само является группой относительно операции группы G. Докажите, что единица группы H совпадает с единицей группы G; обратный элемент в H совпадает с обратным элементом в G.

Комплексные числа можно определять разными способами: Как множество упорядоченных пар вещественных чисел. Путем удвоения (процедура Кэли-Диксона) алгебры R. Как двумерную коммутативную алгебру над полем R. Как факторкольцо. Через матрицы поворота. Какие еще способы есть? Какой способ более простой и естественный?

Вы можете смотреть розыгрыш лотереи в студии в прямом эфире, а можете смотреть в записи. В первом случае события случайны, во втором уже есть записанное видео с предопределенным концом. Но какая разница, если вы просто зритель?

Интуиция подсказывает, что основные структуры в математике должны быть исключительными и математически красивыми. В математике повсюду встречаются группы и кольца, а также их частные случай и расширения — поля, линейные пространства, алгебры. Но почему именно эти структуры? Чем уникальны наборы аксиом группы и кольца?