В игре «Что? Где? Когда?» в каждом раунде волчок останавливается в секторе номер N, где N равновероятно принимает одно из значений 1, 2, …, 13. Выпавшим считается первый из секторов по часовой стрелке, который ранее не выпадал. Найти вероятность того, что после шести раундов сыграют (в любом порядке) сектора 1, 2, …, 6.

Игра происходит в двумерном мире, который состоит из блоков размером 1×1. Остров игрока представляет собой набор столбцов различной высоты, состоящих из блоков камня и окруженный морем. Над островом прошёл сильный дождь, который заполнил водой все низины, а не поместившаяся в них вода стекла в море, не увеличив его уровень. Придумайте алгоритм, который по заданному ландшафту острова определяет, сколько блоков воды осталось после дождя в низинах на острове.

Подмножество H группы G называется подгруппой, если оно само является группой относительно операции группы G. Докажите, что единица группы H совпадает с единицей группы G; обратный элемент в H совпадает с обратным элементом в G.

Покажите, что топологическая размерность квадрата (с внутренностью) равна 2. Проверьте, что топологическая размерность ковра Серпинского равна 1. Чему равна его фрактальная размерность?

Сколькими способами можно раскрасить грани правильного тетраэдра, если в наличии есть три цвета? Два варианта раскраски считаются разными, если один нельзя получить из другого переворачиваниями тетраэдра. Грань красится в один цвет.

Квадратная таблица n×n заполнена целыми числами. При этом в клетках, имеющих общую сторону, записаны числа, отличающиеся одно от другого, не больше чем на 1. Докажите, что хотя бы одно число встречается в таблице не менее, чем n раз.

У Пети в школе всего три предмета — математика, физика и информатика. Школа работает без выходных и праздников, и каждый день Петя получает одну оценку (2,3,4 или 5) по каждому предмету. Родители хвалят Петю, если по большинству предметов сегодня оценки лучше, чем вчера. Какое наибольшее количество дней подряд Петю могут хвалить?