Поиск > Сообщения

Сообщения: 217

Подгруппа ≪ Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Учебные задачи
28 Апр 2021 12:15:52
Evgeniy

Подгруппа

Множество $G$ является группой, если на нем определена бинарная операция $*$ и при этом выполняются аксиомы:
1) $\forall x, y, z\in G \quad (x*y)*z=x*(y*z)$ {ассоциативность};
2) $\exists e\in G \ \forall x\in G \quad x*e=e*x=x$ {есть единица};
3) $\forall x\in G \ \exists x^{-1}\in G \quad x*x^{-1}=x^{-1}*x=e$ {каждый элемент множества $G$ имеет обратный}.

Докажите, что:
1) единица группы единственная;
2) каждый элемент группы имеет единственный обратный.

Подмножество $H$ группы $G$ называется подгруппой, если оно само является группой относительно операции группы $G$ .

Докажите, что:
1) единица группы $H$ совпадает с единицей группы $G$ ;
2) обратный элемент в $H$ совпадает с обратным элементом в $G$ .

Докажите, что подмножество $H$ группы $G$ образует подгруппу тогда и только тогда, когда выполняются два условия:
i) $\forall x, y\in H \quad x*y\in H$ ;
ii) $\forall x\in H \quad x^{-1}\in H$ .

Разные способы определения комплексных чисел ≪ Математика
15 Авг 2020 19:16:03
Evgeniy

Разные способы определения комплексных чисел

Комплексные числа можно определять разными способами:

Как множество упорядоченных пар вещественных чисел, на котором формально заданы операции сумма и произведение пар по правилам

$\begin{aligned} & (a, b)+(c, d)=(a+c, \; b+d), \\ & (a, b)\cdot (c, d)=(ac-bd, \; ad+bc). \end{aligned}$
Роль единицы играет пара $(1,0)$ , роль мнимой единицы играет пара $(0, 1)$ .
Путем удвоения (процедура Кэли-Диксона) одномерной алгебры $\mathbb{R}$ . По сути это первый способ, но с более замысловатой теоретической подоплекой.
Как двумерную коммутативную алгебру над полем $\mathbb{R}$ с базисными элементами $\langle 1, \; i \rangle$ , которые удовлетворяют соотношениям $1\cdot 1=1, \ 1 \cdot i=i, \ i \cdot i=-1$ .
Как факторкольцо $\mathbb{R}[x]/(x^2+1)$ . Роль мнимой единицы играет класс, содержащий полином $x$ .
Как множество матриц вида $\lambda A$ , где $\lambda$ — вещественное число, $A$ — матрица поворота из $SO(2)$ . Роль мнимой единицы играет матрица поворота на угол $\pi/2$ .

Какие еще способы есть? Какой способ, по-вашему, наиболее простой, естественный?

Проблема свободы воли как проблема соотношения системы и ее частей ≪ Философия
10 Авг 2020 14:45:57
Evgeniy

Проблема свободы воли как проблема соотношения системы и ее частей

Свободу воли нередко прямо противопоставляют детерминизму. Детерминизм исключает свободу воли, но отсутствие детерминизма еще не гарантирует наличие свободы воли. Если поведение человека определяется физическими процессами в мозге, которые идут по законам физики, то так ли важно, предопределены эти физические процессы или на микроуровне происходят абсолютные случайности.

Даже если физические процессы абсолютно случайны, то это не значит, что сознание на них влияет. Вы можете смотреть розыгрыш лотереи в студии в прямом эфире, а можете смотреть в записи. В первом случае события случайны, во втором уже есть записанное видео с предопределенным концом. Но какая разница, если вы просто зритель?

Проблема свободы воли на самом деле сводится к проблеме отношения системы и ее частей. Сознание осознает себя целым, неделимым, не воспринимает себя как систему, состоящую из частей. Каждая отдельный атом моего тела — это не я, а все они в совокупности — уже я. Проблема именно в этом переходе. Как совокупность частей становится новой сущностью? В каком отношении находятся система и ее части? Система определяет поведение частей или части определяют поведение системы?

Здесь можно отметить, что система — это не просто совокупность частей, а структура, связи и соотношения между частями. Как известно, атомы, молекулы, клетки и даже органы в теле заменяются, не нарушая систему.

Схема Бернулли ≪ Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Учебные задачи
30 Сен 2019 18:40:49
Evgeniy

Единица уже не нужна, потому что не используем противоположное событие, используем только дополнение к множеству $P\{|A_{1}\cup A_{2}...\cup A_{r}|=k\}=P\{|\overline{A_{1}\cup A_{2}...\cup A_{r}}|=N-k\}=P\{|\overline{A_{1}}\cap \overline{A_{2}}...\cap \overline{A_{r}}|=N-k\}=\binom{N}{k}q^{r(N-k)}(1-q^r)^{k}$ .

Схема Бернулли ≪ Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Учебные задачи
30 Сен 2019 17:06:36
Evgeniy

Если $|X \cup \overline{X}|=N$ , то $\{|X|=k\} = \{|\overline{X}|=N-k\}$ .
Поэтому
$\left\{\left|\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i\right|=k\right\} = \left\{\left|\overline{\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i}\right|=N-k\right\}= \left\{\left|\bigcap\limits_{i=1}^{n}\overline{A_i}\right|=N-k\right\}$

Схема Бернулли ≪ Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Учебные задачи
29 Сен 2019 20:34:46
Evgeniy

Извиняюсь, невнимательно прочитал вопрос.
Первое, что приходит в голову. Если множеству $A_i$ соответствует, к примеру, последовательность $01011...01$ , то множеству $\overline{A_i}$ соответствует последовательность $10100...10$ , то есть $0$ заменены на $1$ , и наоборот. Элемент $a_j$ попадает в множество $\overline{A_i}$ с вероятностью $1-p$ и с вероятностью $p$ не попадает. Может, от этого отталкиваться.

Схема Бернулли ≪ Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Учебные задачи
29 Сен 2019 19:18:35
Evgeniy

$P\left\{\bigcup\limits_{i=1}^r A_{i}\right\}=1-P\left\{\overline{\bigcup\limits_{i=1}^r A_{i}}\right\} = 1-P\left\{\bigcap\limits_{i=1}^r \overline{A_{i}}\right\}$

Используется соотношение для вероятности противоположного события $P(A)+P(\overline{A})=1$
и формула де-Моргана $\overline{\bigcup\limits_{i=1}^r A_{i}}=\bigcap\limits_{i=1}^r \overline{A_{i}}$

Как понимать равенство 0,(9) = 1? ≪ Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Учебные задачи
18 Июл 2019 22:30:06
Evgeniy

См. Представление вещественных чисел в q-ой позиционной системе счисления

Представление вещественных чисел в q-ой позиционной системе счисления ≪ Математика
18 Июл 2019 22:29:13
Evgeniy

Представление вещественных чисел в $q$ -ой позиционной системе счисления обосновывается следующим образом.

Пусть $q>1$ .

Для любого вещественного числа $x>0$ найдется целое число $p$ такое, что

$q^{p}\le x < q^{p+1}$ .

Целое число $p$ называется порядком числа $x$ в $q$ -ой системе счисления.

Далее по аксиоме Архимеда найдется целое число $a_p$ такое, что

$a_pq^{p}\le x < (a_p+1)q^{p}$ .

Покажем, что $a_p >0$ . Действительно, если допустить противное $a_p \le 0$ , то получим $x < (a_p+1)q^{p} \le q^{p}$ , что противоречит неравенству $q^{p}\le x$ .

Покажем, что $a_p < q$ . Действительно, если допустить противное $a_p \ge q$ , то получим $q^{p+1} \le a_pq^{p}\le x$ , что противоречит неравенству $x < q^{p+1}$ .

Таким образом, имеем $0<a_p<q$ .

Также имеем $0\le x - a_pq^{p} < q^{p}$ .

Далее для числа $x - a_pq^{p}$ по принципу Архимеда найдется целое число $a_{p-1}$ такое, что

$a_{p-1}q^{p-1}\le x - a_pq^{p} < (a_{p-1}+1)q^{p-1}$ .

Покажем, что $a_{p-1} \ge 0$ . Действительно, если допустить противное $a_{p-1} < 0$ , то получим $x - a_pq^{p} < (a_{p-1}+1)q^{p-1} \le 0$ , что противоречит неравенству $0\le x - a_pq^{p}$ .

Покажем, что $a_{p-1} < q$ . Действительно, если допустить противное $a_{p-1} \ge q$ , то получим $q^{p} \le a_{p-1}q^{p-1}\le x - a_pq^{p}$ , что противоречит неравенству $x - a_pq^{p}<q^{p}$ .

Таким образом, имеем $0\le a_{p-1}<q$ .

Продолжая так по аналогии, получим конечную, если на каком-то шаге $r_n=x$ , или бесконечную последовательность $r_n$ такую, что

$r_n = a_{p}q^{p}+a_{p-1}q^{p-1}+\dots+a_{p-n}q^{p-n}$

$0<a_{p}<q,\quad 0\le a_{p-n}<q$

$r_n \le x < r_n+q^{p-n}$

$0 \le x - r_n < q^{p-n}$

Из этого следует, что $r_n \to x$ и $r_n+q^{p-n} \to x$ при $n\to+\infty$ .

Покажем, что в последовательности цифр $a_{p},a_{p-1},\dots, a_{p-n},\dots$ в конце не может быть бесконечно много наибольших цифр (при $q=10$ наибольшая цифра $q-1=9$ ). Допустим противное: все цифры, после $a_{p-n}$ , равны $w$ , где $w$ наибольшая цифра, т.е. $w\ge q-1$ . Тогда получим

$r_n = a_{p}q^{p}+a_{p-1}q^{p-1}+\dots+a_{p-n}q^{p-n}+wq^{p-n-1}+\dots+wq^{p-n-m}$ ,

откуда

$r_{n+m}-r_{n}=wq^{p-n-1}+\dots+wq^{p-n-m}=wq^{p-n}\left( \frac{1}{q}+\dots+\frac{1}{q^m} \right)$ .

Переходя к пределу при $m\to+\infty$ , с одной стороны имеем

$\lim_{m\to+\infty}r_{n+m}-r_{n}=x-r_{n}<q^{p-n}$ ,

с другой стороны

$\lim_{m\to+\infty}r_{n+m}-r_{n}= \lim_{m\to+\infty}wq^{p-n}\left( \frac{1}{q}+\dots+\frac{1}{q^m} \right) = wq^{p-n}\lim_{m\to+\infty}\left( \frac{1}{q}+\dots+\frac{1}{q^m} \right)= \frac{w}{q-1}q^{p-n} \ge q^{p-n}$ .

Получили противоречие, которое доказывает утверждение.

Всякому вещественному числу $x>0$ соответствует единственная конечная или бесконечная последовательность цифр $a_{p},a_{p-1},\dots, a_{p-n},\dots$ , причем в последовательности не может быть бесконечно много идущих подряд наибольших цифр. Единственность следует из однозначности алгоритма. Для обозначения порядка $p$ , условились после $a_0$ ставить запятую.

Обратно, всякой последовательности цифр $a_{p},a_{p-1},\dots, a_{p-n},\dots$ , где $0<a_{p}<q,\quad 0\le a_{p-n}<q$ , соответствует единственное вещественное число $x=\sum_{i=0}^{+\infty}a_{p-i}q^{p-i}$ . Единственность следует из единственности предела. Существование следует из того, что всякий ряд $\sum_{i=0}^{+\infty}a_{p-i}q^{p-i}$ сходится, поскольку его частичные суммы не убывают и ограничены сверху

$\sum_{i=0}^{n}a_{p-i}q^{p-i} \le \sum_{i=0}^{n}wq^{p-i} = wq^{p}\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{q^i}\le wq^{p}\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{1}{q^i} = \frac{wq^{p+1}}{q-1}$ ,

где $w$ — наибольшая возможная цифра.

Итак, всякому вещественному числу $x>0$ взаимнооднозначно соответствует конечная или бесконечная последовательность цифр $a_{p},a_{p-1},\dots, a_{p-n},\dots$ , причем в последовательности не может быть бесконечно много идущих подряд наибольших цифр.

Доказать неограниченность функции ≪ Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Учебные задачи
25 Апр 2019 20:47:39
Evgeniy

Можно выбрать $n$ настолько большим, что $n>A$ и $\frac{1}{n}<\beta-\alpha$ .
По принципу Архимеда для любых чисел $\frac{1}{n}>0$ и $\alpha$ найдется натуральное число $m$ такое, что

$\frac{1}{n}(m-1)\le \alpha < \frac{1}{n}m$ .

Из неравенств $\frac{1}{n}(m-1)=\frac{m}{n}-\frac{1}{n}\le \alpha$ и $\frac{1}{n}<\beta-\alpha$ следует, что $\frac{m}{n}<\beta$ .
Нашли число $x_0=\frac{m}{n}\in (\alpha,\beta)$ такое, что $f(x_0)=n>A$ .

|1|2|3|4|5|…|22| >>>

∀ x, y, z

Поиск > Сообщения

Подгруппа

Разные способы определения комплексных чисел

Проблема свободы воли как проблема соотношения системы и ее частей