Задача о конгруэнтных числах, упоминавшаяся еще в арабских математических текстах X века, состоит в следующем: для каких рациональных чисел s найдется прямоугольный треугольник с рациональными сторонами и площадью s? Удивительным образом эта проблема оказывается связанной с самой современной математикой — ее решение может быть получено по модулю так называемой гипотезы Берча и Свиннертона-Дайра, входящей в список «Проблем тысячелетия» института Клэя и за решение которой предлагается миллион долларов. Я попытаюсь рассказать о том, откуда берется такая связь. По пути нам встретится множество объектов и теорем, имеющих огромную важность в современной арифметической геометрии и теории чисел. Мы обсудим эллиптические кривые и закон сложения на них, теорему Морделла–Вейля, поговорим о том, как полезно смотреть на решения уравнений по модулю простого числа pp и упомянем теорему Минковского–Хассе о квадратичных формах, по пути нам понадобятся такие классические утверждения как теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях и квадратичный закон взаимности. Наконец, если останется время, мы упомянем об L-функциях эллиптических кривых и модулярных формах, — то без чего невозможно представить современную теорию чисел.

Курс посвящен римановым поверхностям, модулярным формам и некоторым их приложениям. Эти фундаментальные понятия, играющие важную роль в самых разных разделах математики, можно определить при помощи верхней полуплоскости – множества комплексных чисел с положительной мнимой частью, – которую мы будем рассматривать как модель Пуанкаре плоскости Лобачевского. Соответствующие определения будут даны в курсе.