Как по одному проводу или радиоканалу одновременно разговаривают миллионы? Кодовое разделение каналов CDMA (Code Division Multiple Access) на основе ортогональной системы векторов.

Если что и даёт ясное представление о высшей математике, так это линейная алгебра. Барьер повседневности здесь преодолевается легко и просто. При этом оказывается, что удивительные вещи находятся не в туманной дали, а совсем рядом. В этом курсе: линейные задачи и векторы, линейные преобразования и матрицы, элементарные преобразования, теория определителей, системы уравнений, замена координат, собственные значения и собственные векторы, операторы на комплексной плоскости, спектральная теория, квадратичные формы, сопряжённое пространство, триангуляция Шура, функции от матриц, матричные ряды.

В этом курсе изучается такой замечательный и вполне элементарный объект, как конечномерные коммутативные ассоциативные алгебры над комплексными числами. Здесь достаточно легко доказать первые структурные результаты, но получить полную классификацию едва ли возможно. Мы обсудим различные техники работы с конечномерными алгебрами (максимальные идеалы и локальные алгебры, фильтрации и градуировки, последовательность Гильберта-Самюэля и цоколь) и получим явное описание алгебр малых размерностей. Оказывается, конечномерные алгебры тесно связаны с действиями с открытой орбитой коммутативных групп матриц на аффинных и проективных пространствах. Мы объясним эту связь. В процессе объяснения естественно возникнут такие понятия как экспонента линейного оператора, представление группы и циклический модуль, алгебра Ли и ее универсальная обертывающая.

Рассмотрим сумму двух эрмитовых матриц A и B. Это снова будет эрмитова матрица. В 1912 году Герман Вейль задался таким вопросом: что можно сказать о ее собственных значениях, если известны собственные значения матриц A и В? Во-первых, ясно, что след A+B будет равен сумме следов исходных матриц; во-вторых, наибольшее собственное значение A+B не превосходит суммы наибольших собственных значений A и B. А какие еще есть ограничения? В 1962 году Альфред Хорн выписал ряд неравенств на собственные значения матриц A, B и A+B и сформулировал гипотезу о том, что это полный набор условий. В 1999 году А.А.Клячко свел эту гипотезу к так называемой гипотезе о насыщении. Они же предложили описание неравенств Хорна при помощи диаграмм или «сот», которые имеют самое прямое отношение к теории представлений полной линейной группы GL(n).

Курс посвящён обобщению понятия вращения евклидова пространства. Оказывается, что с каждым евклидовым пространством можно связать новое пространство, объекты которого называются спинорами. Между исходным пространством и пространством спиноров имеется замечательная связь: всякому вращению исходного пространства можно сопоставить преобразование пространства спиноров, определённое однозначно с точностью до знака. Получаемые таким образом преобразования пространства спиноров образуют группу, называемую спинорной группой.

Если назвать точки на плоскости «прямыми», прямые на плоскости «точками», а «прямой», проходящей через две «точки», назвать точку пересечения соответствующих прямых, то (при правильном понимании) полученная «плоскость» будет обладать всеми свойствами обычной плоскости. Этот эффект известен в математике под названием проективной двойственности. Проективная двойственность небезынтересна уже при работе исключительно с точками и прямыми на плоскости и вдвойне интересна при работе с «искривленными» геометрическими фигурами: кривыми, поверхностями и многообразиями более высокой размерности.

Матрица. Вектор. Сложение векторов и свойства сложения векторов. Геометрическая интерпретация вектора и сложения векторов. Умножение вектора на скаляр и его свойства. Однородная линейная функция вещественных чисел. Геометрическая интерпретация умножения вектора на скаляр. Умножение вектора на матрицу. Зачем нам нужны векторы? Сравнение свойств сложения и умножения вещественных чисел и векторов. Умножение на нулевой вектор. Дистрибутивность. Транспонирование матрицы. Система линейных уравнений. Метод исключения Гаусса-Джордана. Умножение матрицы на матрицу. Обратная матрица. Определитель квадратной матрицы.

Возможно ли в линейной алгебре получение новых результатов? Почему в университетах этот курс учат неправильно? Какое матричное разложение является самым важным? Об умножении матрицы на вектор, быстрых алгоритмах и сингулярном разложении. рассказывает доктор физико-математических наук Иван Оселедец.