Математика — один из самых объемных школьных предметов (по общему числу часов). Экзамен по математике требуется для самых разных вузов, курсы математики в вузах обязательны для студентов многих специальностей и т. д. Но и преподаватели, и учащиеся жалуются, что большая часть их труда уходит впустую — и это во многих странах. Едва ли не большинство вспоминает об уроках математики как о соединении неприятного с бесполезным. Почему так получается, несмотря на многочисленные попытки улучшить ситуацию?

План лекций: Доказуемость и недоказуемость (почему некоторые утверждения нельзя ни доказать, ни опровергнуть?); Вычислимые функции (почему некоторые функции нельзя вычислить на компьютере?); Сложность алгоритмов; Формальные языки и исчисления.

Природа статистических законов вызывала споры с самого рождения теории вероятностей и продолжает их вызывать. Эти философские споры привели к рождению интересной математической теории: алгоритмической теории вероятностей и информации, которая — в отличие от классической — пытается дать определение индивидуального случайного объекта. Мы обсудим основные понятия этой теории и их связь с основаниями и парадоксами теории вероятностей. Об этом в публичной лекции математика Александра Шеня, кандидата физико-математических наук, старшего научный сотрудник Лаборатории теории передачи информации и управления ИППИ РАН.

Какова история создания машины Тьюринга? Как она повлияла на развитие идей, лежащих в основе ряда современных технологий? Какие проблемы существуют в теории вычислительной сложности? И как математика рассматривает понятие случайность? Об идее универсальной машины, проблеме перебора и случайности рассказывает кандидат физико-математических наук Александр Шень.

Сколько нужно вопросов (с ответом “да” и “нет”), чтобы заведомо отгадать задуманное число от 1 до 1000? Можно ли обойтись меньшим числом вопросов? Если нет, то как это доказать? Сколько нужно взвешиваний на чашечных весах без гирь, чтобы наверняка выделить более лёгкую монету среди 1000 одинаковых на вид? С такого рода вопросов начинается наука о сложности алгоритмов, и очень скоро доходит до важных, но до сих пор не решённых задач.

О сложности вычислений и квантовых компьютерах рассказывает Александр Ханиевич Шень — кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Института проблем передачи информации РАН (Москва) и LIF CNRS — Лаборатории информатики Национального центра научных исследований Франции (Марсель). Лекция была прочитана 23 апреля 2009 года в Москве, в ФИАНе.